Faça uma tabela de valores para a função
nos pontos
e
.
a) Determine a taxa média de variação de
nos intervalos
para cada
em sua tabela.
b) Amplie a tabela, se necessário, para tentar determinar a taxa de variação de
em
.
a) Determine a taxa média de variação de
b) Amplie a tabela, se necessário, para tentar determinar a taxa de variação de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Fazer uma tabela de valores da função
nos pontos e novamente . - (a) Para cada
da tabela, determinar a taxa média de variação de no intervalo , isto é calcular . - (b) Se necessário, ampliar a tabela para tentar determinar a taxa de variação de
em (a derivada em , se existir), usando aproximações por taxas médias.
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - Note que
não está definida em porque o denominador zera. - Vamos precisar do valor
para calcular as taxas médias em .
Passo 2
Calcular
e observar o ponto
.
Calcule
:
Observação para
:
não existe porque o denominador
. Portanto não há valor de
em
e não se pode calcular a taxa média usando diretamente
.
Passo 3
Montar a tabela com os valores de
nos pontos pedidos (usar forma fracionária exata e aproximação decimal).
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Recapitulando a tabela (valores exatos e aproximados):
-
: . -
: não existe (denominador zero). -
: . -
: . -
: . -
: . -
(repetido): .
Passo 4
Definir e simplificar a expressão da taxa média de variação em
.
Definição: a taxa média de variação de
em
é
Vamos simplificar algebraicamente
para
e
:
Portanto
Essa fórmula é muito útil: para qualquer
(e
) a taxa média em
vale simplesmente
.
Passo 5
Calcular as taxas médias para cada
da tabela usando a fórmula
e apresentar fração exata e aproximação decimal.
Para
:
não pode ser calculada porque
não existe (denominador zero) — portanto a fórmula
também não é aplicável em
.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Esses valores mostram que, ao nos aproximarmos de
por valores maiores que
, a taxa média tende para
.
Passo 6
Ampliar a tabela para aproximar
por valores menores que
(lado esquerdo) e calcular as taxas médias para verificar que o limite é o mesmo dos dois lados.
Escolher pontos à esquerda:
.
Aplicando
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Esses valores à esquerda também se aproximam de
quando
.
Passo 7
Concluir o valor da taxa de variação em
(derivada) tomando o limite das taxas médias quando
.
Vimos que para
vale
. Fazendo
:
Portanto a taxa de variação de
em
(derivada
) é
.
Como verificação alternativa (cálculo direto da derivada pela regra do quociente): para
,
Logo
, confirmando o resultado do limite das taxas médias.
Resposta
Taxas médias (para cada
da tabela):
não existe (denominador zero) — taxa média não definida.
Taxa de variação de
em
(limite das taxas médias / derivada):