Faça uma tabela de valores para a função F(x)=\frac{x+2}{x-2} nos pontos x=1,2, \frac{11}{10}, \frac{101}{100}, \frac{1001}{1000}, \frac{10001}{10000} e x=1.
a) Determine a taxa média de variação de F(x) nos intervalos [1, x] para cada x \neq 1 em sua tabela.
b) Amplie a tabela, se necessário, para tentar determinar a taxa de variação de F(x) em x=1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Fazer uma tabela de valores da função F(x)=\dfrac{x+2}{x-2} nos pontos x=1,2,\dfrac{11}{10},\dfrac{101}{100},\dfrac{1001}{1000},\dfrac{10001}{10000} e novamente x=1.
  • (a) Para cada x\neq1 da tabela, determinar a taxa média de variação de F no intervalo [1,x], isto é calcular \dfrac{F(x)-F(1)}{x-1}.
  • (b) Se necessário, ampliar a tabela para tentar determinar a taxa de variação de F em x=1 (a derivada em 1, se existir), usando aproximações por taxas médias.
Informações relevantes dadas:
  • A função é F(x)=\dfrac{x+2}{x-2}.
  • Note que F não está definida em x=2 porque o denominador zera.
  • Vamos precisar do valor F(1) para calcular as taxas médias em [1,x].

Passo 2

Calcular F(1) e observar o ponto x=2.
Calcule F(1):
F(1)=\frac{1+2}{1-2}=\frac{3}{-1}=-3.
Observação para x=2: F(2) não existe porque o denominador 2-2=0. Portanto não há valor de F em x=2 e não se pode calcular a taxa média usando diretamente x=2.

Passo 3

Montar a tabela com os valores de F(x) nos pontos pedidos (usar forma fracionária exata e aproximação decimal).
Para x=\dfrac{11}{10}:
F\!\left(\tfrac{11}{10}\right)=\frac{\tfrac{11}{10}+2}{\tfrac{11}{10}-2} =\frac{\tfrac{31}{10}}{-\tfrac{9}{10}}=-\frac{31}{9}\approx -3{,}444444\ldots
Para x=\dfrac{101}{100}:
F\!\left(\tfrac{101}{100}\right)=\frac{\tfrac{101}{100}+2}{\tfrac{101}{100}-2} =\frac{\tfrac{301}{100}}{-\tfrac{99}{100}}=-\frac{301}{99}\approx -3{,}040404\ldots
Para x=\dfrac{1001}{1000}:
F\!\left(\tfrac{1001}{1000}\right)=\frac{\tfrac{1001}{1000}+2}{\tfrac{1001}{1000}-2} =\frac{\tfrac{3001}{1000}}{-\tfrac{999}{1000}}=-\frac{3001}{999}\approx -3{,}004004\ldots
Para x=\dfrac{10001}{10000}:
F\!\left(\tfrac{10001}{10000}\right)=\frac{\tfrac{10001}{10000}+2}{\tfrac{10001}{10000}-2} =\frac{\tfrac{30001}{10000}}{-\tfrac{9999}{10000}}=-\frac{30001}{9999}\approx -3{,}00030003\ldots
Recapitulando a tabela (valores exatos e aproximados):
  • x=1: F(1)=-3.
  • x=2: F(2) não existe (denominador zero).
  • x=\dfrac{11}{10}: F=-\dfrac{31}{9}\approx -3{,}444444.
  • x=\dfrac{101}{100}: F=-\dfrac{301}{99}\approx -3{,}040404.
  • x=\dfrac{1001}{1000}: F=-\dfrac{3001}{999}\approx -3{,}004004.
  • x=\dfrac{10001}{10000}: F=-\dfrac{30001}{9999}\approx -3{,}00030003.
  • x=1 (repetido): F(1)=-3.

Passo 4

Definir e simplificar a expressão da taxa média de variação em [1,x].
Definição: a taxa média de variação de F em [1,x] é
\text{TM}(1,x)=\frac{F(x)-F(1)}{x-1}.
Vamos simplificar algebraicamente \dfrac{F(x)-F(1)}{x-1} para F(x)=\dfrac{x+2}{x-2} e F(1)=-3:
F(x)-F(1)=\frac{x+2}{x-2}-(-3)=\frac{x+2}{x-2}+3 =\frac{x+2+3(x-2)}{x-2}=\frac{4x-4}{x-2}= \frac{4(x-1)}{x-2}.
Portanto
\text{TM}(1,x)=\frac{F(x)-F(1)}{x-1}=\frac{\dfrac{4(x-1)}{x-2}}{x-1}=\frac{4}{x-2}.
Essa fórmula é muito útil: para qualquer x\neq1 (e x\neq2) a taxa média em [1,x] vale simplesmente \dfrac{4}{x-2}.

Passo 5

Calcular as taxas médias para cada x\neq1 da tabela usando a fórmula \text{TM}(1,x)=\dfrac{4}{x-2} e apresentar fração exata e aproximação decimal.
Para x=2: \text{TM}(1,2) não pode ser calculada porque F(2) não existe (denominador zero) — portanto a fórmula \dfrac{4}{x-2} também não é aplicável em x=2.
Para x=\dfrac{11}{10}:
\text{TM}\!\left(1,\tfrac{11}{10}\right)=\frac{4}{\tfrac{11}{10}-2}=\frac{4}{-\tfrac{9}{10}}=-\frac{40}{9}\approx -4{,}444444\ldots
Para x=\dfrac{101}{100}:
\text{TM}\!\left(1,\tfrac{101}{100}\right)=\frac{4}{\tfrac{101}{100}-2}=\frac{4}{-\tfrac{99}{100}}=-\frac{400}{99}\approx -4{,}040404\ldots
Para x=\dfrac{1001}{1000}:
\text{TM}\!\left(1,\tfrac{1001}{1000}\right)=\frac{4}{\tfrac{1001}{1000}-2}=\frac{4}{-\tfrac{999}{1000}}=-\frac{4000}{999}\approx -4{,}004004\ldots
Para x=\dfrac{10001}{10000}:
\text{TM}\!\left(1,\tfrac{10001}{10000}\right)=\frac{4}{\tfrac{10001}{10000}-2}=\frac{4}{-\tfrac{9999}{10000}}=-\frac{40000}{9999}\approx -4{,}00040004\ldots
Esses valores mostram que, ao nos aproximarmos de x=1 por valores maiores que 1, a taxa média tende para -4.

Passo 6

Ampliar a tabela para aproximar x=1 por valores menores que 1 (lado esquerdo) e calcular as taxas médias para verificar que o limite é o mesmo dos dois lados.
Escolher pontos à esquerda: x=\dfrac{9}{10},\dfrac{99}{100},\dfrac{999}{1000},\dfrac{9999}{10000}.
Aplicando \text{TM}(1,x)=\dfrac{4}{x-2}:
Para x=\dfrac{9}{10}:
\text{TM}\!\left(1,\tfrac{9}{10}\right)=\frac{4}{\tfrac{9}{10}-2}=\frac{4}{-\tfrac{11}{10}}=-\frac{40}{11}\approx -3{,}6363636\ldots
Para x=\dfrac{99}{100}:
\text{TM}\!\left(1,\tfrac{99}{100}\right)=\frac{4}{\tfrac{99}{100}-2}=\frac{4}{-\tfrac{101}{100}}=-\frac{400}{101}\approx -3{,}960396\ldots
Para x=\dfrac{999}{1000}:
\text{TM}\!\left(1,\tfrac{999}{1000}\right)=\frac{4}{\tfrac{999}{1000}-2}=\frac{4}{-\tfrac{1001}{1000}}=-\frac{4000}{1001}\approx -3{,}996003996\ldots
Para x=\dfrac{9999}{10000}:
\text{TM}\!\left(1,\tfrac{9999}{10000}\right)=\frac{4}{\tfrac{9999}{10000}-2}=\frac{4}{-\tfrac{10001}{10000}}=-\frac{40000}{10001}\approx -3{,}99960004\ldots
Esses valores à esquerda também se aproximam de -4 quando x\to1^{-}.

Passo 7

Concluir o valor da taxa de variação em x=1 (derivada) tomando o limite das taxas médias quando x\to1.
Vimos que para x\neq2 vale \text{TM}(1,x)=\dfrac{4}{x-2}. Fazendo x\to1:
\lim_{x\to1}\text{TM}(1,x)=\lim_{x\to1}\frac{4}{x-2}=\frac{4}{1-2}=\frac{4}{-1}=-4.
Portanto a taxa de variação de F em x=1 (derivada F'(1)) é -4.
Como verificação alternativa (cálculo direto da derivada pela regra do quociente): para F(x)=\dfrac{x+2}{x-2},
F'(x)=\frac{(1)(x-2)-(x+2)(1)}{(x-2)^2}=\frac{x-2-x-2}{(x-2)^2}=\frac{-4}{(x-2)^2}.
Logo F'(1)=-\dfrac{4}{(1-2)^2}=-\dfrac{4}{1}=-4, confirmando o resultado do limite das taxas médias.

Resposta

Taxas médias (para cada x\neq1 da tabela):
x=2: F(2) não existe (denominador zero) — taxa média não definida.
x=\dfrac{11}{10}:\\ \text{TM}=-\dfrac{40}{9}\approx -4{,}444444
x=\dfrac{101}{100}:\\ \text{TM}=-\dfrac{400}{99}\approx -4{,}040404
x=\dfrac{1001}{1000}:\\ \text{TM}=-\dfrac{4000}{999}\approx -4{,}004004
x=\dfrac{10001}{10000}:\\ \text{TM}=-\dfrac{40000}{9999}\approx -4{,}00040004
Taxa de variação de F em x=1 (limite das taxas médias / derivada): -4

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