Para cada uma das expressões booleanas
a seguir, verifique se o produto fundamental
dado é um implicante primo de
. Dica: você pode fazer isso expressando
e
em sua forma disjuntiva normal e verificando se
corresponde a algum termo de
.
(a)
;
(a)
Passo 1
O enunciado dá:
-
. -
.
O que é pedido: verificar se o produto fundamental
é um implicante primo de
. Ou seja:
- primeiro: verificar se
é um implicante de (sempre que temos ); - segundo: verificar se
é primo, isto é, não é possível remover nenhuma das literais de (tornando-a mais geral) sem perder a propriedade de implicante.
Passo 2
Explicando a ideia usada (passo-a-passo e didático):
- Uma expressão na forma soma de produtos (disjuntiva normal, DNF) já dá termos produto; cada termo produto corresponde a um conjunto de mintermos (quando houver variáveis não mencionadas, elas correspondem à soma sobre as possibilidades dessas variáveis).
- Um produto
é implicante de se todos os mintermos cobertos por também estiverem presentes (ou cobertos) em . Uma forma prática é expandir ambos em mintermos completos (com todas as variáveis) e checar inclusão. - Um implicante é primo se não for possível remover qualquer literal de
(torná-lo mais simples) e ainda assim manter a implicância.
Vou usar essa técnica: expandir
e
em mintermos sobre
e comparar.
Passo 3
Expandir cada termo de
em mintermos completos (ou seja, com todas as variáveis
):
-
O termo
não menciona . Então corresponde a dois mintermos, com e : -
O termo
já é um mintermo completo (todas as variáveis aparecem): -
O termo
também é mintermo completo:
Portanto, a expansão de
em mintermos é
Passo 4
Expandir
em mintermos completos: aqui
não aparece, então existem duas possibilidades (
e
):
Passo 5
Comparar os mintermos de
com os de
:
- Os mintermos de
são . - Na expansão de
(do Passo 3) aparecem exatamente os mintermos e (além de outros dois mintermos).
Como todos os mintermos cobertos por
estão presentes em
, concluímos que
é um implicante de
.
Passo 6
Agora verificar se
é primo. Lembrete:
é primo se não é possível remover qualquer literal de
mantendo a implicância.
tem duas literais:
e
. Testamos remover uma por vez.
Passo 7
Tentar remover
: termo reduzido fica
.
- Se
fosse implicante, então para toda atribuição com teríamos . - Contrap.exemplo: tomar
. Então , mas avaliando : -
(porque ), -
, -
(porque ).
Assim.
-
- Logo
não é implicante. Portanto não se pode remover .
Passo 8
Tentar remover
: termo reduzido fica
.
- Se
fosse implicante, então para toda atribuição com teríamos . - Contrap.exemplo: tomar
. Então , mas avaliando : -
(pois ), -
(pois ), -
.
Assim.
-
- Logo
não é implicante. Portanto não se pode remover .
Passo 9
Como
é implicante (Passo 5) e não é possível remover nenhuma literal sem perder a implicância (Passos 7–8), concluímos que
é um implicante primo de
.
Resposta
Sim