Para cada uma das expressões booleanas \alpha a seguir, verifique se o produto fundamental \pi dado é um implicante primo de \alpha. Dica: você pode fazer isso expressando \alpha e \pi em sua forma disjuntiva normal e verificando se \pi corresponde a algum termo de \alpha.
(a) \alpha=a b^{\prime}+a b c^{\prime}+a^{\prime} b c^{\prime}, \pi=a c^{\prime};

Passo 1

O enunciado dá:
  • \alpha = a b^{\prime}+a b c^{\prime}+a^{\prime} b c^{\prime}.
  • \pi = a c^{\prime}.
O que é pedido: verificar se o produto fundamental \pi é um implicante primo de \alpha. Ou seja:
  • primeiro: verificar se \pi é um implicante de \alpha (sempre que \pi=1 temos \alpha=1);
  • segundo: verificar se \pi é primo, isto é, não é possível remover nenhuma das literais de \pi (tornando-a mais geral) sem perder a propriedade de implicante.

Passo 2

Explicando a ideia usada (passo-a-passo e didático):
  • Uma expressão na forma soma de produtos (disjuntiva normal, DNF) já dá termos produto; cada termo produto corresponde a um conjunto de mintermos (quando houver variáveis não mencionadas, elas correspondem à soma sobre as possibilidades dessas variáveis).
  • Um produto \pi é implicante de \alpha se todos os mintermos cobertos por \pi também estiverem presentes (ou cobertos) em \alpha. Uma forma prática é expandir ambos em mintermos completos (com todas as variáveis) e checar inclusão.
  • Um implicante é primo se não for possível remover qualquer literal de \pi (torná-lo mais simples) e ainda assim manter a implicância.
Vou usar essa técnica: expandir \alpha e \pi em mintermos sobre \{a,b,c\} e comparar.

Passo 3

Expandir cada termo de \alpha em mintermos completos (ou seja, com todas as variáveis a,b,c):
  • O termo a b^{\prime} não menciona c. Então corresponde a dois mintermos, com c=1 e c=0:
    a b^{\prime} \equiv a b^{\prime} c + a b^{\prime} c^{\prime}.
  • O termo a b c^{\prime} já é um mintermo completo (todas as variáveis aparecem):
    a b c^{\prime}.
  • O termo a^{\prime} b c^{\prime} também é mintermo completo:
    a^{\prime} b c^{\prime}.
Portanto, a expansão de \alpha em mintermos é
\alpha = a b^{\prime} c + a b^{\prime} c^{\prime} + a b c^{\prime} + a^{\prime} b c^{\prime}.

Passo 4

Expandir \pi = a c^{\prime} em mintermos completos: aqui b não aparece, então existem duas possibilidades ( b=0 e b=1):
a c^{\prime} \equiv a b c^{\prime} + a b^{\prime} c^{\prime}.

Passo 5

Comparar os mintermos de \pi com os de \alpha:
  • Os mintermos de \pi são \{a b c^{\prime},\, a b^{\prime} c^{\prime}\}.
  • Na expansão de \alpha (do Passo 3) aparecem exatamente os mintermos \,a b c^{\prime} e \,a b^{\prime} c^{\prime} (além de outros dois mintermos).
Como todos os mintermos cobertos por \pi estão presentes em \alpha, concluímos que \pi é um implicante de \alpha.

Passo 6

Agora verificar se \pi é primo. Lembrete: \pi é primo se não é possível remover qualquer literal de \pi mantendo a implicância. \pi tem duas literais: a e c^{\prime}. Testamos remover uma por vez.

Passo 7

Tentar remover a: termo reduzido fica c^{\prime}.
  • Se c^{\prime} fosse implicante, então para toda atribuição com c=0 teríamos \alpha=1.
  • Contrap.exemplo: tomar (a,b,c)=(0,0,0). Então c^{\prime}=1, mas avaliando \alpha:
    • a b^{\prime}=0 (porque a=0),
    • a b c^{\prime}=0,
    • a^{\prime} b c^{\prime}=1\cdot0\cdot1=0 (porque b=0).
      Assim \alpha=0.
  • Logo c^{\prime} não é implicante. Portanto não se pode remover a.

Passo 8

Tentar remover c^{\prime}: termo reduzido fica a.
  • Se a fosse implicante, então para toda atribuição com a=1 teríamos \alpha=1.
  • Contrap.exemplo: tomar (a,b,c)=(1,1,1). Então a=1, mas avaliando \alpha:
    • a b^{\prime}=1\cdot0=0 (pois b^{\prime}=0),
    • a b c^{\prime}=1\cdot1\cdot0=0 (pois c^{\prime}=0),
    • a^{\prime} b c^{\prime}=0.
      Assim \alpha=0.
  • Logo a não é implicante. Portanto não se pode remover c^{\prime}.

Passo 9

Como \pi é implicante (Passo 5) e não é possível remover nenhuma literal sem perder a implicância (Passos 7–8), concluímos que \pi é um implicante primo de \alpha.

Resposta

Sim

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