Encontre a forma disjuntiva mínima para as seguintes expressões booleanas usando mapas de Karnaugh e indique o número de formas disjuntivas mínimas diferentes que você consegue encontrar para cada uma delas:
(a) \alpha=a b c+a b c^{\prime}+a^{\prime} c^{\prime}+a^{\prime} b^{\prime} c+a^{\prime} b c^{\prime};

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a expressão booleana
\alpha = a b c + a b c^{\prime} + a^{\prime} c^{\prime} + a^{\prime} b^{\prime} c + a^{\prime} b c^{\prime}.
As perguntas são:
  • Encontrar a forma disjuntiva mínima (mínimo soma-de-produtos) de \alpha usando mapas de Karnaugh.
  • Indicar quantas formas disjuntivas mínimas diferentes existem para \alpha.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão original está em soma de produtos (lista de mintermos/termos).
  • As variáveis envolvidas são a, b e c.

Passo 2

Primeiro vamos listar explicitamente os mintermos (os combinacionais de a,b,c) que fazem \alpha=1. Cada produto corresponderá a um mintermo (ou a mais de um, se tiver variáveis com apóstrofo que anulam a dependência):
  • a b c corresponde ao mintermo m_7 (bits 111).
  • a b c^{\prime} corresponde a m_6 (bits 110).
  • a^{\prime} c^{\prime} tem a=0 e c=0, então independe de b: cobre m_0 ( 000) e m_2 ( 010).
  • a^{\prime} b^{\prime} c corresponde a m_1 ( 001).
  • a^{\prime} b c^{\prime} corresponde a m_2 ( 010), mas esse já foi coberto por a^{\prime} c^{\prime}.
Portanto o conjunto de mintermos presentes é
\{m_0,m_1,m_2,m_6,m_7\}.

Passo 3

Vamos montar o mapa de Karnaugh para três variáveis. Organizando as colunas pelo par (b,c) em código Gray 00,01,11,10 e as linhas por a=0 (linha superior) e a=1 (linha inferior), os mintermos aparecem assim:
  • Linha a=0: colunas (b,c)=(00,01,11,10) correspondem a m_0,m_1,m_3,m_2. Os uns estão em m_0, m_1, m_2.
  • Linha a=1: colunas (b,c)=(00,01,11,10) correspondem a m_4,m_5,m_7,m_6. Os uns estão em m_7, m_6.
Em forma de mapa (linha superior a=0, inferior a=1; colunas 00,01,11,10):
  • a=0: [1, 1, 0, 1] (m0, m1, m3, m2)
  • a=1: [0, 0, 1, 1] (m4, m5, m7, m6)

Passo 4

Agora procuramos agrupamentos (grupos de tamanho 1,2,4,\dots sempre potências de 2) para obter implicantes primos:
Possíveis agrupamentos óbvios:
  • Grupo horizontal entre m_6 e m_7 (linha a=1, colunas 10 e 11). Esses dois compartilham a=1 e b=1 (pois colunas 11 e 10 têm b=1), logo implicante primo a b.
  • Grupo horizontal entre m_0 e m_1 (linha a=0, colunas 00 e 01). Esses compartilham a=0 e b=0, implicante primo a^{\prime} b^{\prime}.
  • Grupo horizontal entre m_0 e m_2 (linha a=0, colunas 00 e 10): compartilham a=0 e c=0, implicante primo a^{\prime} c^{\prime}.
  • Grupo vertical entre m_2 (linha a=0, col 10) e m_6 (linha a=1, col 10): compartilham a coluna b=1,c=0, implicante primo b c^{\prime}.
Assim, os implicantes primos identificados são:
a b,\quad a^{\prime} b^{\prime},\quad a^{\prime} c^{\prime},\quad b c^{\prime}.

Passo 5

Determinamos agora quais desses implicantes primos são essenciais (ou seja, cobrem algum mintermo que nenhum outro cobre):
  • Mintermo m_1 ( a=0,b=0,c=1) é coberto apenas por a^{\prime} b^{\prime}. Logo a^{\prime} b^{\prime} é essencial.
  • Mintermo m_7 ( a=1,b=1,c=1) é coberto apenas por a b. Logo a b é essencial.
  • Mintermo m_0 é coberto por a^{\prime} b^{\prime} e por a^{\prime} c^{\prime} (não único).
  • Mintermo m_6 é coberto por a b e por b c^{\prime} (não único).
  • Mintermo m_2 é coberto por a^{\prime} c^{\prime} e por b c^{\prime} (não único).
Portanto os implicantes essenciais já fixos na simplificação são
a^{\prime} b^{\prime}\quad\text{e}\quad a b.

Passo 6

Após incluir os implicantes essenciais a^{\prime} b^{\prime} e a b, vemos quais mintermos ainda precisam ser cobertos:
  • m_0 e m_1 já estão cobertos por a^{\prime} b^{\prime}.
  • m_6 e m_7 já estão cobertos por a b.
  • Resta cobrir m_2 ( a=0,b=1,c=0).
Para cobrir m_2 há duas opções entre os implicantes primos que contêm m_2:
  • escolher a^{\prime} c^{\prime} (cobre m_0 e m_2), ou
  • escolher b c^{\prime} (cobre m_2 e m_6).
Cada escolha junto com os essenciais fornece uma cobertura completa dos mintermos.

Passo 7

Analisando custo/complexidade: cada implicante candidato ( a b, a^{\prime} b^{\prime}, a^{\prime} c^{\prime}, b c^{\prime}) tem dois literais. As duas alternativas de cobertura finais (usar a^{\prime} c^{\prime} ou usar b c^{\prime}) resultam em expressões com três termos de dois literais cada — custo igual. Não existem implicantes maiores (grupo de 4) que reduzam o número de termos abaixo de três, porque há cinco mintermos espalhados que impedem um agrupamento maior que cubra todos com menos implicantes. Assim formas com apenas dois produtos não são possíveis.

Passo 8

Conclusão do procedimento com o mapa de Karnaugh: existem exatamente duas escolhas mínimas para completar a cobertura depois dos essenciais, e ambas produzem expressões de três termos (cada termo com 2 literais), portanto ambas são formas disjuntivas mínimas.

Resposta

\alpha = a b + a^{\prime} b^{\prime} + a^{\prime} c^{\prime} \quad ou \quad \alpha = a b + a^{\prime} b^{\prime} + b c^{\prime}\n
Número de formas disjuntivas mínimas diferentes: 2

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