Encontre a forma disjuntiva mínima para as seguintes expressões booleanas dadas como soma de mintermos usando mapas de Karnaugh e indique o número de formas disjuntivas mínimas diferentes que você consegue encontrar para cada uma delas: (e)
;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a forma disjuntiva mínima (mínima em soma-de-produtos) da função booleana dada pelos mintermos
usando mapas de Karnaugh e indicar quantas formas disjuntivas mínimas diferentes existem para essa função.
Informações dadas (peguei os mintermos do enunciado):
- A função tem 1s nos mintermos
. - Como o maior mintermo é
, vamos considerar uma função de quatro variáveis. Vou nomear as variáveis, do bit mais significativo ao menos significativo, por . Assim cada mintermo corresponde ao vetor binário de .
O objetivo concreto:
- Construir o mapa de Karnaugh 4x4, localizar os 1s correspondentes a esses mintermos, formar os agrupamentos máximos possíveis e deduzir a soma de produtos mínima.
- Dizer quantas formas disjuntivas mínimas diferentes existem para essa função.
Passo 2
Breve aula prática sobre mapas de Karnaugh (K-map 4 variáveis) — regra passo a passo para usar na prova:
- Para quatro variáveis usa-se um mapa 4×4. Uma convenção comum é: linhas para
em ordem Gray e colunas para em ordem Gray . - Cada célula corresponde a um mintermo
com o número obtido ao converter em binário. - Ao agrupar, só são permitidos blocos com tamanho potência de 2:
. Blocos podem envolver “wrap” (a borda do mapa é adjacente à borda oposta). - Cada bloco gera um implicante (um produto) onde as variáveis que não mudam no bloco aparecem (com barra se forem 0), as que variam são omitidas.
- O objetivo é cobrir todos os 1s com o menor número de blocos possíveis, preferindo blocos maiores (reduzem termos/literais).
Passo 3
Colocar os mintermos no mapa (peguei os números
do enunciado). Vou listar cada mintermo em binário para saber sua posição:
Agora a posição no K-map (linhas
em
, colunas
em
):
-
( ) → linha , coluna . -
( ) → linha , coluna . -
( ) → linha , coluna . -
( ) → linha , coluna . -
( ) → linha , coluna . -
( ) → linha , coluna .
(Em prova desenhe o mapa 4×4 e marque 1 nessas células. Aqui descrevi as posições para ficar claro.)
Passo 4
Procurar agrupamentos máximos e implicantes primos:
- Observando as posições, vemos alguns pares naturais (adjacências):
-
e são adjacentes horizontalmente (mesma linha , colunas e ). -
e são adjacentes verticalmente (mesma coluna , linhas e ; lembrando que linhas e são adjacentes por wrap vertical). -
e são adjacentes horizontalmente (mesma linha , colunas e ; note que colunas e são adjacentes em Gray code).
-
- Analisar implicantes possíveis (os blocos de tamanho 2 que aparecem):
- P1 cobrindo
. - P2 cobrindo
. - P3 cobrindo
. - Há outras possíveis pares alternativos (por exemplo
com , ou com ), mas vamos listar as coberturas para decidir quais são essenciais.
- P1 cobrindo
Passo 5
Determinar implicantes essenciais e escolher cobertura mínima:
- Fazer a tabela de cobertura (cada implicante cobre quais mintermos):
- P1 (
). - P2 (
). - P3 (
). - Alternativas: P4 (
), P5 ( ), etc.
- P1 (
- Verificar mintermos que aparecem em somente um implicante:
-
só é coberto por P3 → P3 é essencial. -
só é coberto por P2 → P2 é essencial.
-
- Como P2 e P3 são essenciais, os incluímos na soma. Com P2 e P3 já cobertos estão cobertos
e . Restam e . - Para cobrir simultaneamente
e com um só implicante escolhemos P1 (o par ). Essa escolha cobre ambos com um único termo; as alternativas que usassem P4 e P5 cobririam e mas exigiriam dois implicantes adicionais (aumentando o número de termos), portanto não são mínimas.
Conclusão: os implicantes essenciais e suficientes para cobertura mínima são P1, P2, P3.
Passo 6
Traduzir cada bloco (implicante) para o produto (explicando como montar o termo):
- Regra: para um bloco, as variáveis que se mantêm constantes aparecem no produto; se constantes em 0 aparecem negadas (
), se constantes em 1 aparecem não negadas; variáveis que mudam no bloco são eliminadas.
Derivar cada termo:
- P1: bloco
. Ambos têm , e ; varia ( em , em ). Logo o produto é
- P2: bloco
. Ambos têm , , ; varia ( em , em ). Logo o produto é
- P3: bloco
. Ambos têm , , ; varia. Logo o produto é
Passo 7
Escrever a soma de produtos mínima unindo os termos obtidos e verificar cobertura:
Checagem rápida: cada mintermo dado está coberto por algum dos três termos (por construção), e não é possível cobrir todos os mintermos usando menos de três termos porque já havia dois implicantes essenciais (P2 e P3) e foi necessário mais um implicante para cobrir os dois restantes. Portanto essa soma é mínima.
Passo 8
Quantas formas disjuntivas mínimas diferentes existem?
- Observação: P2 e P3 são essenciais (cobrem mintermos que nenhum outro implicante cobre), portanto aparecem em toda solução mínima.
- O par que cobre simultaneamente
e com um único termo é somente P1 ( ). Não há outro implicante único que cubra ambos sem aumentar o número de termos. Logo não existe alternativa com o mesmo número de termos que substitua P1. - Consequentemente há exatamente 1 forma disjuntiva mínima (apenas permutações da ordem dos somandos representam a mesma forma).
Resposta
1