Encontre a forma disjuntiva mínima para as seguintes expressões booleanas dadas como soma de mintermos usando mapas de Karnaugh e indique o número de formas disjuntivas mínimas diferentes que você consegue encontrar para cada uma delas: (e) \eta=\sum m(1,2,3,4,6,9);

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a forma disjuntiva mínima (mínima em soma-de-produtos) da função booleana dada pelos mintermos \sum m(1,2,3,4,6,9) usando mapas de Karnaugh e indicar quantas formas disjuntivas mínimas diferentes existem para essa função.
Informações dadas (peguei os mintermos do enunciado):
  • A função tem 1s nos mintermos 1,2,3,4,6,9.
  • Como o maior mintermo é 9, vamos considerar uma função de quatro variáveis. Vou nomear as variáveis, do bit mais significativo ao menos significativo, por A,B,C,D. Assim cada mintermo m(i) corresponde ao vetor binário de A B C D.
O objetivo concreto:
  • Construir o mapa de Karnaugh 4x4, localizar os 1s correspondentes a esses mintermos, formar os agrupamentos máximos possíveis e deduzir a soma de produtos mínima.
  • Dizer quantas formas disjuntivas mínimas diferentes existem para essa função.

Passo 2

Breve aula prática sobre mapas de Karnaugh (K-map 4 variáveis) — regra passo a passo para usar na prova:
  • Para quatro variáveis usa-se um mapa 4×4. Uma convenção comum é: linhas para A B em ordem Gray (00,01,11,10) e colunas para C D em ordem Gray (00,01,11,10).
  • Cada célula corresponde a um mintermo m(i) com o número obtido ao converter A B C D em binário.
  • Ao agrupar, só são permitidos blocos com tamanho potência de 2: 1,2,4,8. Blocos podem envolver “wrap” (a borda do mapa é adjacente à borda oposta).
  • Cada bloco gera um implicante (um produto) onde as variáveis que não mudam no bloco aparecem (com barra se forem 0), as que variam são omitidas.
  • O objetivo é cobrir todos os 1s com o menor número de blocos possíveis, preferindo blocos maiores (reduzem termos/literais).

Passo 3

Colocar os mintermos no mapa (peguei os números 1,2,3,4,6,9 do enunciado). Vou listar cada mintermo em binário para saber sua posição:
\begin{aligned} m(1)&:\\\ 0001\quad(A=0,B=0,C=0,D=1)\\\ m(2)&:\\\ 0010\quad(A=0,B=0,C=1,D=0)\\\ m(3)&:\\\ 0011\quad(A=0,B=0,C=1,D=1)\\\ m(4)&:\\\ 0100\quad(A=0,B=1,C=0,D=0)\\\ m(6)&:\\\ 0110\quad(A=0,B=1,C=1,D=0)\\\ m(9)&:\\\ 1001\quad(A=1,B=0,C=0,D=1) \end{aligned}
Agora a posição no K-map (linhas AB em (00,01,11,10), colunas CD em (00,01,11,10)):
  • m(1) ( AB=00,\\ CD=01) → linha 00, coluna 01.
  • m(2) ( AB=00,\\ CD=10) → linha 00, coluna 10.
  • m(3) ( AB=00,\\ CD=11) → linha 00, coluna 11.
  • m(4) ( AB=01,\\ CD=00) → linha 01, coluna 00.
  • m(6) ( AB=01,\\ CD=10) → linha 01, coluna 10.
  • m(9) ( AB=10,\\ CD=01) → linha 10, coluna 01.
(Em prova desenhe o mapa 4×4 e marque 1 nessas células. Aqui descrevi as posições para ficar claro.)

Passo 4

Procurar agrupamentos máximos e implicantes primos:
  • Observando as posições, vemos alguns pares naturais (adjacências):
    • m(2) e m(3) são adjacentes horizontalmente (mesma linha AB=00, colunas 10 e 11).
    • m(1) e m(9) são adjacentes verticalmente (mesma coluna CD=01, linhas AB=00 e AB=10; lembrando que linhas 10 e 00 são adjacentes por wrap vertical).
    • m(4) e m(6) são adjacentes horizontalmente (mesma linha AB=01, colunas 00 e 10; note que colunas 00 e 10 são adjacentes em Gray code).
  • Analisar implicantes possíveis (os blocos de tamanho 2 que aparecem):
    • P1 cobrindo m(2),m(3).
    • P2 cobrindo m(1),m(9).
    • P3 cobrindo m(4),m(6).
    • Há outras possíveis pares alternativos (por exemplo m(2) com m(6), ou m(1) com m(3)), mas vamos listar as coberturas para decidir quais são essenciais.

Passo 5

Determinar implicantes essenciais e escolher cobertura mínima:
  • Fazer a tabela de cobertura (cada implicante cobre quais mintermos):
    • P1 ( m(2),m(3)).
    • P2 ( m(1),m(9)).
    • P3 ( m(4),m(6)).
    • Alternativas: P4 ( m(2),m(6)), P5 ( m(1),m(3)), etc.
  • Verificar mintermos que aparecem em somente um implicante:
    • m(4) só é coberto por P3 → P3 é essencial.
    • m(9) só é coberto por P2 → P2 é essencial.
  • Como P2 e P3 são essenciais, os incluímos na soma. Com P2 e P3 já cobertos estão cobertos m(1),m(9) e m(4),m(6). Restam m(2) e m(3).
  • Para cobrir simultaneamente m(2) e m(3) com um só implicante escolhemos P1 (o par m(2),m(3)). Essa escolha cobre ambos com um único termo; as alternativas que usassem P4 e P5 cobririam m(2) e m(3) mas exigiriam dois implicantes adicionais (aumentando o número de termos), portanto não são mínimas.
Conclusão: os implicantes essenciais e suficientes para cobertura mínima são P1, P2, P3.

Passo 6

Traduzir cada bloco (implicante) para o produto (explicando como montar o termo):
  • Regra: para um bloco, as variáveis que se mantêm constantes aparecem no produto; se constantes em 0 aparecem negadas ( \overline{\cdot}), se constantes em 1 aparecem não negadas; variáveis que mudam no bloco são eliminadas.
Derivar cada termo:
  1. P1: bloco m(2),m(3). Ambos têm A=0, B=0 e C=1; D varia ( 0 em m(2), 1 em m(3)). Logo o produto é
\overline{A}\,\overline{B}\,C.
  1. P2: bloco m(1),m(9). Ambos têm B=0, C=0, D=1; A varia ( 0 em m(1), 1 em m(9)). Logo o produto é
\overline{B}\,\overline{C}\,D.
  1. P3: bloco m(4),m(6). Ambos têm A=0, B=1, D=0; C varia. Logo o produto é
\overline{A}\,B\,\overline{D}.

Passo 7

Escrever a soma de produtos mínima unindo os termos obtidos e verificar cobertura:
\eta = \overline{A}\,\overline{B}\,C \;+\; \overline{B}\,\overline{C}\,D \;+\; \overline{A}\,B\,\overline{D}.
Checagem rápida: cada mintermo dado está coberto por algum dos três termos (por construção), e não é possível cobrir todos os mintermos usando menos de três termos porque já havia dois implicantes essenciais (P2 e P3) e foi necessário mais um implicante para cobrir os dois restantes. Portanto essa soma é mínima.

Passo 8

Quantas formas disjuntivas mínimas diferentes existem?
  • Observação: P2 e P3 são essenciais (cobrem mintermos que nenhum outro implicante cobre), portanto aparecem em toda solução mínima.
  • O par que cobre simultaneamente m(2) e m(3) com um único termo é somente P1 ( \overline{A}\,\overline{B}\,C). Não há outro implicante único que cubra ambos sem aumentar o número de termos. Logo não existe alternativa com o mesmo número de termos que substitua P1.
  • Consequentemente há exatamente 1 forma disjuntiva mínima (apenas permutações da ordem dos somandos representam a mesma forma).

Resposta

\eta=\overline{A}\,\overline{B}\,C+\overline{B}\,\overline{C}\,D+\overline{A}\,B\,\overline{D}
1

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