Para cada uma das expressões booleanas a seguir, calcule seu valor nos pontos (a, b)= (0,0),(0,1),(1,0) e (1,1) ou (a, b, c)=(0,0,0),(0,0,1), \ldots,(1,1,1) : (c) \gamma(a, b, c)=(a+b+c)\left(a^{\prime}+b^{\prime}+c^{\prime}\right);

Passo 1

O enunciado dá a função booleana
\gamma(a,b,c) = (a+b+c)\left(a'+b'+c'\right)
e pede para calcular o valor de \gamma nos pontos (a,b,c)=(0,0,0),(0,0,1),\ldots,(1,1,1).
Lista dos pontos a avaliar:
(0,0,0),\\ (0,0,1),\\ (0,1,0),\\ (0,1,1),\\ (1,0,0),\\ (1,0,1),\\ (1,1,0),\\ (1,1,1).

Passo 2

Vamos lembrar o que significam os operadores e o símbolo de negação:
  • x+y é a operação OR (disjunção): vale 1 se pelo menos um entre x e y for 1; vale 0 somente se ambos forem 0.
  • xy (ou a justaposição) é a operação AND (conjunção): vale 1 somente se ambos os fatores forem 1; caso contrário vale 0.
  • x' é a negação (NOT): x'=1 quando x=0 e x'=0 quando x=1.
No nosso caso (a+b+c) é a OR de três variáveis: vale 1 se pelo menos uma de a,b,c for 1; vale 0 somente quando a=b=c=0.
Analogamente \left(a'+b'+c'\right) vale 1 se pelo menos uma das negações for 1, isto é, se pelo menos uma das variáveis originais for 0; vale 0 somente quando a=b=c=1.
Assim, em palavras: \gamma(a,b,c)=1 quando existe pelo menos um 1 entre a,b,c e existe pelo menos um 0 entre a,b,c. Em particular \gamma será 0 nos casos todos iguais (tudo 0 ou tudo 1).

Passo 3

Estratégia prática para a prova: para cada tripla (a,b,c) calcule separadamente
T_1 = a+b+c\qquad\text{e}\qquad T_2=a'+b'+c',
depois faça \gamma = T_1\cdot T_2. Vou mostrar isso passo a passo para cada configuração.

Passo 4

Avaliações (cada linha mostra T_1, T_2 e \gamma=T_1T_2):
  • Para (a,b,c)=(0,0,0):
    T_1 = 0+0+0 = 0,\qquad T_2 = 1+1+1 = 1,\qquad \gamma = 0\cdot1 = 0.
  • Para (a,b,c)=(0,0,1):
    T_1 = 0+0+1 = 1,\qquad T_2 = 1+1+0 = 1,\qquad \gamma = 1\cdot1 = 1.
  • Para (a,b,c)=(0,1,0):
    T_1 = 0+1+0 = 1,\qquad T_2 = 1+0+1 = 1,\qquad \gamma = 1\cdot1 = 1.
  • Para (a,b,c)=(0,1,1):
    T_1 = 0+1+1 = 1,\qquad T_2 = 1+0+0 = 1,\qquad \gamma = 1\cdot1 = 1.
  • Para (a,b,c)=(1,0,0):
    T_1 = 1+0+0 = 1,\qquad T_2 = 0+1+1 = 1,\qquad \gamma = 1\cdot1 = 1.
  • Para (a,b,c)=(1,0,1):
    T_1 = 1+0+1 = 1,\qquad T_2 = 0+1+0 = 1,\qquad \gamma = 1\cdot1 = 1.
  • Para (a,b,c)=(1,1,0):
    T_1 = 1+1+0 = 1,\qquad T_2 = 0+0+1 = 1,\qquad \gamma = 1\cdot1 = 1.
  • Para (a,b,c)=(1,1,1):
    T_1 = 1+1+1 = 1,\qquad T_2 = 0+0+0 = 0,\qquad \gamma = 1\cdot0 = 0.

Passo 5

Interpretação final rápida (útil para prova): \gamma(a,b,c)=1 sempre que a tripla não for toda zeros nem toda uns. Ou seja, \gamma=0 apenas em (0,0,0) e em (1,1,1); nos outros seis casos \gamma=1.

Resposta

(0,0,0):\\\ 0
(0,0,1):\\\ 1
(0,1,0):\\\ 1
(0,1,1):\\\ 1
(1,0,0):\\\ 1
(1,0,1):\\\ 1
(1,1,0):\\\ 1
(1,1,1):\\\ 0

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