Reduza as seguintes expressões booleanas à sua forma disjuntiva: © (a+b)(b+c)(c+a);

Passo 1

Neste exercício, queremos reduzir a expressão booleana (a + b)(b + c)(c + a) à sua forma disjuntiva (soma de produtos). Vamos usar as leis da álgebra booleana: distributiva, idempotência e absorção.

Passo 2

Aplicamos a lei distributiva aos dois primeiros fatores:
(a + b)(b + c) = a b + a c + b b + b c
Aqui usamos a definição de produto e soma em álgebra booleana.

Passo 3

Usamos a idempotência em b b = b e reagrupamos:
(a + b)(b + c) = ab + ac + b + bc
Em seguida, aplicamos a lei da absorção em b + bc = b, obtendo:
(a + b)(b + c) = b + ac

Passo 4

Agora multiplicamos esse resultado por (c + a) de novo usando distributiva:
(b + ac)(c + a) = b c + b a + ac,c + ac,a

Passo 5

Simplificamos usando idempotência em c c = c e a c a = ac, e juntamos termos iguais:
(b + ac)(c + a) = bc + ab + ac + ac = ab + ac + bc
Removendo a repetição de ac pela idempotência, chegamos à forma final.

Resposta

ab + ac + bc

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