Resolva as seguintes EDOs de primeira ordem.
y^prime(t)+y(t)=t e^-t+1

Passo 1

Nesse exercício, temos uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem e do tipo linear:
A equação é dada por y'(t) + y(t) = t e^-t + 1. O que precisamos é aplicar o método do fator integrante para resolver esse tipo de EDO.

Passo 2

O coeficiente de y(t) é p(t)=1, então o fator integrante é dado por
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral 1,dt = e^t

Passo 3

Multiplicamos a EDO original por mu(t)=e^t. Isso transforma o lado esquerdo em derivada de produto:
e^t y'(t) + e^t y(t) = ddtl(e^t y(t)r)
No lado direito temos:
e^tl(t e^-t + 1r) = t + e^t

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
ddt(e^t y) = t + e^t
integral ddt(e^t y),dt = integral (t + e^t),dt
O resultado é
e^t y = t^22 + e^t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para finalizar, isolamos y(t) dividindo por e^t:
y(t) = t^2/2 + e^t + Ce^t = t^22e^-t + 1 + C e^-t

Resposta

y(t) = \frac{t2}{2}e{-t} + 1 + C e^{-t}

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