Quatro forças de mesmo módulo
atuam em um ponto, cada uma fazendo um ângulo de
com o eixo
. Qual a força resultante?
Passo 1
O enunciado diz: “Quatro forças de mesmo módulo
atuam em um ponto, cada uma fazendo um ângulo de
com o eixo
. Qual a força resultante?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Há
forças, cada uma com módulo . - Cada força faz um ângulo de
com o eixo . - Todas atuam no mesmo ponto (logo somam como vetores a partir de um mesmo ponto).\n
O que é pedido: - A força resultante (vetor soma de todas as quatro forças): magnitude e direção (se não houver, dizer que é nula).
Passo 2
Primeiro entendimento importante (isso é uma escolha de interpretação do enunciado que faz sentido e é comum em provas): as direções possíveis que "fazem um ângulo de
com o eixo
" são aquelas cujos ângulos medidos a partir do eixo
são
,
,
e
. Essas quatro direções são as quatro direções distintas que mantêm o ângulo de
com o eixo
(considerando o ângulo como o menor entre a força e o eixo). Vou adotar essas quatro direções porque assim cada uma das quatro forças tem a propriedade pedida e elas formam um conjunto simétrico ao redor da origem — o que é a interpretação natural quando se pede "quatro forças … cada uma fazendo um ângulo de
com o eixo
". Se você tivesse um diagrama diferente, aplicaríamos a mesma ideia de decompor em componentes.
Passo 3
Técnica que usaremos (explicação didática): somar vetores pelo método das componentes. Cada força
pode ser decomposta em componentes horizontal e vertical usando:
onde
é o ângulo que a força faz com o eixo
. Aqui
é a componente ao longo do eixo
(positiva para a direita) e
é a componente ao longo do eixo
(positiva para cima). Depois somamos separadamente todas as componentes
e todas as componentes
para obter as componentes da resultante:
e a resultante é
com magnitude
e direção
(quando
).
Passo 4
Identificamos os quatro ângulos (conforme a escolha simétrica):
Agora calculamos cossenos e senos úteis (valores trigonométricos conhecidos):
A partir disso:
Passo 5
Decompondo cada força em componentes
e
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Somamos as componentes horizontais e as verticais separadamente:
Componente
resultante:
Componente
resultante:
Passo 7
Como as componentes
e
da resultante são zero, a força resultante é o vetor nulo. Interpretando de modo físico: as quatro forças estão dispostas simetricamente de modo que cada par oposto cancela as componentes do outro, então não sobra nenhuma força líquida.