Quatro forças de mesmo módulo F atuam em um ponto, cada uma fazendo um ângulo de 30^{\circ} com o eixo x. Qual a força resultante?

Passo 1

O enunciado diz: “Quatro forças de mesmo módulo F atuam em um ponto, cada uma fazendo um ângulo de 30^\circ com o eixo x. Qual a força resultante?”\n
Informações dadas:
  • 4 forças, cada uma com módulo F.
  • Cada força faz um ângulo de 30^\circ com o eixo x.
  • Todas atuam no mesmo ponto (logo somam como vetores a partir de um mesmo ponto).\n
    O que é pedido:
  • A força resultante (vetor soma de todas as quatro forças): magnitude e direção (se não houver, dizer que é nula).

Passo 2

Primeiro entendimento importante (isso é uma escolha de interpretação do enunciado que faz sentido e é comum em provas): as direções possíveis que "fazem um ângulo de 30^\circ com o eixo x" são aquelas cujos ângulos medidos a partir do eixo x são 30^\circ, 180^\circ-30^\circ=150^\circ, 180^\circ+30^\circ=210^\circ e 360^\circ-30^\circ=330^\circ. Essas quatro direções são as quatro direções distintas que mantêm o ângulo de 30^\circ com o eixo x (considerando o ângulo como o menor entre a força e o eixo). Vou adotar essas quatro direções porque assim cada uma das quatro forças tem a propriedade pedida e elas formam um conjunto simétrico ao redor da origem — o que é a interpretação natural quando se pede "quatro forças … cada uma fazendo um ângulo de 30^\circ com o eixo x". Se você tivesse um diagrama diferente, aplicaríamos a mesma ideia de decompor em componentes.

Passo 3

Técnica que usaremos (explicação didática): somar vetores pelo método das componentes. Cada força \vec{F} pode ser decomposta em componentes horizontal e vertical usando:
F_x = F\cos\theta,\qquad F_y = F\sin\theta,
onde \theta é o ângulo que a força faz com o eixo x. Aqui F_x é a componente ao longo do eixo x (positiva para a direita) e F_y é a componente ao longo do eixo y (positiva para cima). Depois somamos separadamente todas as componentes x e todas as componentes y para obter as componentes da resultante:
R_x=\sum F_{x,i},\qquad R_y=\sum F_{y,i},
e a resultante é \vec{R}=(R_x,R_y) com magnitude |\vec{R}|=\sqrt{R_x^2+R_y^2} e direção \tan\varphi=R_y/R_x (quando R_x\neq0).

Passo 4

Identificamos os quatro ângulos (conforme a escolha simétrica):
\theta_1=30^\circ,\quad \theta_2=150^\circ,\quad \theta_3=210^\circ,\quad \theta_4=330^\circ.
Agora calculamos cossenos e senos úteis (valores trigonométricos conhecidos):
\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 30^\circ=\frac{1}{2}.
A partir disso:
\cos 150^\circ=\cos(180^\circ-30^\circ)=-\cos 30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2},
\sin 150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin 30^\circ=\frac{1}{2},
\cos 210^\circ=\cos(180^\circ+30^\circ)=-\cos 30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2},
\sin 210^\circ=\sin(180^\circ+30^\circ)=-\sin 30^\circ=-\frac{1}{2},
\cos 330^\circ=\cos(360^\circ-30^\circ)=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},
\sin 330^\circ=\sin(360^\circ-30^\circ)=-\sin 30^\circ=-\frac{1}{2}.

Passo 5

Decompondo cada força em componentes x e y:
  • Para \theta_1=30^\circ:
F_{x1}=F\cos 30^\circ=F\cdot\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad F_{y1}=F\sin 30^\circ=F\cdot\frac{1}{2}.
  • Para \theta_2=150^\circ:
F_{x2}=F\cos 150^\circ=F\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\qquad F_{y2}=F\sin 150^\circ=F\cdot\frac{1}{2}.
  • Para \theta_3=210^\circ:
F_{x3}=F\cos 210^\circ=F\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\qquad F_{y3}=F\sin 210^\circ=F\cdot\left(-\frac{1}{2}\right).
  • Para \theta_4=330^\circ:
F_{x4}=F\cos 330^\circ=F\cdot\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad F_{y4}=F\sin 330^\circ=F\cdot\left(-\frac{1}{2}\right).

Passo 6

Somamos as componentes horizontais e as verticais separadamente:
Componente x resultante:
R_x = F_{x1}+F_{x2}+F_{x3}+F_{x4} = F\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =F\cdot 0=0.
Componente y resultante:
R_y = F_{y1}+F_{y2}+F_{y3}+F_{y4} = F\!\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right) =F\cdot 0=0.

Passo 7

Como as componentes x e y da resultante são zero, a força resultante é o vetor nulo. Interpretando de modo físico: as quatro forças estão dispostas simetricamente de modo que cada par oposto cancela as componentes do outro, então não sobra nenhuma força líquida.

Resposta

\vec{R}=\vec{0}

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