Para cada função abaixo calcule os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 em
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular os polinômios de Taylor de ordem 1 e de ordem 2 de
no ponto
.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Portanto queremos o polinômio de Taylor de primeira ordem (linearização) de
em
e o polinômio de Taylor de segunda ordem em
.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula prática que usaremos (aí vai uma mini-aulinha): se
é uma função de duas variáveis com derivadas parciais até segunda ordem em torno de um ponto
, o polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em
é
onde
é o gradiente (vetor das derivadas parciais) e
é a matriz Hessiana das segundas derivadas
O polinômio de ordem 1 é simplesmente a parte até o termo linear:
Explicando as palavras:
é a derivada parcial de
em relação a
, ou seja, tratamos
como constante;
é a derivada parcial primeiro em
e depois em
, etc. Na prática vamos calcular
e substituir nas fórmulas acima.]
Passo 3
Calcular as derivadas primeiras de
. Para facilitar, defino
, então
. Usando a regra da cadeia:
- Derivada parcial em
:
Como
, obtemos
- Derivada parcial em
:
Como
, obtemos
Agora avaliamos em
. Em
temos
, então
. Também
Assim
Passo 4
Calcular as derivadas segundas. Partimos das expressões em função de
:
- Para
, derivamos em relação a :
pois
.
- Para
, derivamos em relação a :
- Para
, derivamos em relação a :
Agora avaliamos em
. Calculamos primeiro
. Como
,
Substituindo:
Passo 5
Montamos o polinômio de Taylor de ordem 1 (linearização) em
usando
Substituindo os valores que já encontramos:
Interpretação prática: é a aproximação linear de
perto de
.
Passo 6
Montamos o polinômio de Taylor de ordem 2 em
. Usamos a forma com a Hessiana:
Substituindo os valores numéricos:
Agora simplificamos termo a termo:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Assim