Para cada função abaixo calcule os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 em P.
g(x, y)=\sqrt{4+x+2 y}, \quad P=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede: calcular os polinômios de Taylor de ordem 1 e de ordem 2 de g no ponto P.
Dados fornecidos:
g(x,y)=\sqrt{4+x+2y}
P=(0,0)
Portanto queremos o polinômio de Taylor de primeira ordem (linearização) de g em P e o polinômio de Taylor de segunda ordem em P.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula prática que usaremos (aí vai uma mini-aulinha): se f é uma função de duas variáveis com derivadas parciais até segunda ordem em torno de um ponto a=(a_1,a_2), o polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em a é
T_2(x,y)=f(a)+\nabla f(a)\cdot\begin{pmatrix}x-a_1\\[4pt]y-a_2\end{pmatrix} +\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}x-a_1 & y-a_2\end{pmatrix}H_f(a)\begin{pmatrix}x-a_1\\[4pt]y-a_2\end{pmatrix},
onde \nabla f(a)=(f_x(a),f_y(a)) é o gradiente (vetor das derivadas parciais) e H_f(a) é a matriz Hessiana das segundas derivadas
H_f(a)=\begin{pmatrix}f_{xx}(a) & f_{xy}(a)\\[4pt]f_{yx}(a) & f_{yy}(a)\end{pmatrix}.
O polinômio de ordem 1 é simplesmente a parte até o termo linear:
T_1(x,y)=f(a)+f_x(a)(x-a_1)+f_y(a)(y-a_2).
Explicando as palavras: f_x é a derivada parcial de f em relação a x, ou seja, tratamos y como constante; f_{xy} é a derivada parcial primeiro em x e depois em y, etc. Na prática vamos calcular \,f(a), f_x(a), f_y(a), f_{xx}(a), f_{xy}(a), f_{yy}(a)\, e substituir nas fórmulas acima.]

Passo 3

Calcular as derivadas primeiras de g. Para facilitar, defino u(x,y)=4+x+2y, então g(x,y)=u(x,y)^{1/2}. Usando a regra da cadeia:
  • Derivada parcial em x:
g_x=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}\cdot u_x.
Como u_x=\dfrac{\partial}{\partial x}(4+x+2y)=1, obtemos
g_x=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}.
  • Derivada parcial em y:
g_y=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}\cdot u_y.
Como u_y=\dfrac{\partial}{\partial y}(4+x+2y)=2, obtemos
g_y=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}\cdot 2 = u^{-1/2}.
Agora avaliamos em P=(0,0). Em P temos u(0,0)=4, então \sqrt{u(0,0)}=2. Também
u(0,0)^{-1/2}=4^{-1/2}=\tfrac{1}{2}.
Assim
g(0,0)=2,\qquad g_x(0,0)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4},\qquad g_y(0,0)=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcular as derivadas segundas. Partimos das expressões em função de u:
  • Para g_{xx}, derivamos g_x=\tfrac{1}{2}u^{-1/2} em relação a x:
g_{xx}=\tfrac{1}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)u^{-3/2}\cdot u_x =\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)u^{-3/2},
pois u_x=1.
  • Para g_{xy}, derivamos g_x=\tfrac{1}{2}u^{-1/2} em relação a y:
g_{xy}=\tfrac{1}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)u^{-3/2}\cdot u_y =\tfrac{1}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)u^{-3/2}\cdot 2 =\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)u^{-3/2}.
  • Para g_{yy}, derivamos g_y=u^{-1/2} em relação a y:
g_{yy}=\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)u^{-3/2}\cdot u_y =\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)u^{-3/2}\cdot 2 =-u^{-3/2}.
Agora avaliamos em P. Calculamos primeiro u(0,0)^{-3/2}. Como u(0,0)=4,
4^{-3/2}=(\sqrt{4})^{-3}=2^{-3}=\tfrac{1}{8}.
Substituindo:
g_{xx}(0,0)=-\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{8}=-\tfrac{1}{32},
g_{xy}(0,0)=-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{8}=-\tfrac{1}{16},
g_{yy}(0,0)=-1\cdot\tfrac{1}{8}=-\tfrac{1}{8}.

Passo 5

Montamos o polinômio de Taylor de ordem 1 (linearização) em P=(0,0) usando
T_1(x,y)=g(0,0)+g_x(0,0)\,x+g_y(0,0)\,y.
Substituindo os valores que já encontramos:
T_1(x,y)=2+\tfrac{1}{4}x+\tfrac{1}{2}y.
Interpretação prática: é a aproximação linear de g perto de (0,0).

Passo 6

Montamos o polinômio de Taylor de ordem 2 em P=(0,0). Usamos a forma com a Hessiana:
T_2(x,y)=g(0,0)+g_x(0,0)x+g_y(0,0)y+\tfrac{1}{2}\bigl(g_{xx}(0,0)x^2+2g_{xy}(0,0)xy+g_{yy}(0,0)y^2\bigr).
Substituindo os valores numéricos:
T_2(x,y)=2+\tfrac{1}{4}x+\tfrac{1}{2}y +\tfrac{1}{2}\Bigl(-\tfrac{1}{32}x^2+2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{16}\bigr)xy+(-\tfrac{1}{8})y^2\Bigr).
Agora simplificamos termo a termo:
  • Para x^2: \tfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{1}{32})=-\tfrac{1}{64}.
  • Para xy: \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot(-\tfrac{1}{16})=-\tfrac{1}{16}.
  • Para y^2: \tfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{1}{8})=-\tfrac{1}{16}.
Assim
T_2(x,y)=2+\tfrac{1}{4}x+\tfrac{1}{2}y-\tfrac{1}{64}x^2-\tfrac{1}{16}xy-\tfrac{1}{16}y^2.

Resposta

T_1(x,y)=2+\tfrac{1}{4}x+\tfrac{1}{2}y
T_2(x,y)=2+\tfrac{1}{4}x+\tfrac{1}{2}y-\tfrac{1}{64}x^2-\tfrac{1}{16}xy-\tfrac{1}{16}y^2

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