Um circuito trifásico cinético equilibrado tem uma carga trifásico equilibrada ligado em delta. Sabe-se que a corrente de linha é de 20 A. Determine as correntes de fase na carga e as demais correntes de linha.

Passo 1

O enunciado diz: temos um sistema trifásico equilibrado com uma carga trifásica equilibrada ligada em delta. Sabe-se que a corrente de linha vale 20\\ \text{A}. O que pedem:
  • Determinar as correntes de fase na carga (isto é, as correntes que circulam nos ramos do delta: I_{AB},I_{BC},I_{CA}).
  • Determinar as demais correntes de linha (isto é, além da corrente de linha conhecida, identificar as outras duas correntes de linha e suas fases, assumindo equilíbrio).
Informações relevantes extraídas (tudo que podemos usar):
  • Sistema equilibrado ⇒ todas as magnitudes das correntes de linha são iguais e defasagens entre elas são de 120^\circ.
  • Carga ligada em delta ⇒ existe relação entre corrente de fase (ramo do delta) e corrente de linha.
  • Valor numérico dado: magnitude da corrente de linha I_L = 20\\ \text{A} (para cada linha, em módulo, por equilíbrio).

Passo 2

Entender as correntes no delta e a relação com as correntes de linha (descrição física e fórmulas básicas).
  • Em conexão delta, cada ramo do delta conecta duas fases (por ex. ramo AB entre as fases A e B). Denotamos por I_{AB} a corrente que circula no ramo AB (corrente de fase da carga).
  • A corrente de linha em A (denotada I_a) é a soma algébrica (em fasores) das correntes que chegam/saem nesse nó. Com convenção usual,
I_a = I_{AB} - I_{CA}.
  • De forma análoga,
I_b = I_{BC} - I_{AB},\qquad I_c = I_{CA} - I_{BC}.
Essas expressões representam a soma vetorial (phasor) das correntes dos dois ramos que se ligam à mesma linha.

Passo 3

Hipótese de equilíbrio e escolha de referência para facilitar cálculo.
  • Em circuito equilibrado, todos os ramos do delta têm mesma magnitude I_\varphi e estão defasados de 120^\circ entre si. Podemos escolher referência de fase tal que
I_{AB} = I_\varphi \angle 0^\circ,
I_{BC} = I_\varphi \angle -120^\circ,
I_{CA} = I_\varphi \angle 120^\circ.
  • Queremos relacionar I_a (corrente de linha) com I_\varphi. Usamos a fórmula do passo anterior:
I_a = I_{AB} - I_{CA}.

Passo 4

Cálculo vetorial (fasorial) de I_a em função de I_\varphi — desenvolvimento detalhado.
  • Escrevemos
I_a = I_\varphi\angle 0^\circ - I_\varphi\angle 120^\circ = I_\varphi\big(1 - e^{j120^\circ}\big).
  • Usamos as relações trigonométricas: \cos 120^\circ = -\tfrac{1}{2} e \sin 120^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
e^{j120^\circ} = \cos 120^\circ + j\sin 120^\circ = -\tfrac{1}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Substituindo,
1 - e^{j120^\circ} = 1 -\Big(-\tfrac{1}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big) = \tfrac{3}{2} - j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Portanto
I_a = I_\varphi\Big(\tfrac{3}{2} - j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big).
  • Calculamos o módulo e o argumento desse número complexo:
    • Módulo: \sqrt{\big(\tfrac{3}{2}\big)^2 + \big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)^2} = \sqrt{\tfrac{9}{4} + \tfrac{3}{4}} = \sqrt{\tfrac{12}{4}} = \sqrt{3}.
    • Argumento: \theta = \arctan\!\left(\dfrac{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{3}{2}}\right) = \arctan\!\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) = -30^\circ.
  • Então, em forma fasorial,
I_a = \sqrt{3}\,I_\varphi \angle -30^\circ.

Passo 5

Isolando I_\varphi (corrente de fase do delta) em função da corrente de linha I_a.
  • Da relação do passo anterior, podemos escrever
I_\varphi = \frac{I_a}{\sqrt{3}}\angle +30^\circ.
Isto significa: a magnitude da corrente de fase é \tfrac{1}{\sqrt{3}} da corrente de linha, e o fasor da corrente de fase adianta o fasor da corrente de linha em 30^\circ.

Passo 6

Aplicando os valores numéricos (cálculo final).
  • Dado I_L = 20\\ \text{A}. Em regime equilibrado, todas as correntes de linha têm módulo 20\\ \text{A} e estão defasadas de 120^\circ. Escolhemos a referência tal que
I_a = 20\angle 0^\circ\\ \text{A}.
Então
I_b = 20\angle -120^\circ\\ \text{A},\qquad I_c = 20\angle 120^\circ\\ \text{A}.
  • Corrente de fase (módulo):
I_\varphi = \frac{20}{\sqrt{3}}\\ \text{A} \approx 11,547\\ \text{A}\\ (\text{arredondando }11,55\\ \text{A}).
  • Fasores das correntes de fase (usando a relação de avanço de 30^\circ sobre a correspondente corrente de linha):
    • Para o ramo AB (correspondente à linha A escolhida como referência),
    I_{AB} = \frac{20}{\sqrt{3}}\angle 30^\circ \approx 11,55\angle 30^\circ\\ \text{A}.
    • Para o ramo BC (corresponde à linha B cuja corrente está em -120^\circ):
    I_{BC} = \frac{20}{\sqrt{3}}\angle (-120^\circ + 30^\circ) = \frac{20}{\sqrt{3}}\angle -90^\circ \approx 11,55\angle -90^\circ\\ \text{A}.
    • Para o ramo CA (corresponde à linha C cuja corrente está em 120^\circ):
    I_{CA} = \frac{20}{\sqrt{3}}\angle (120^\circ + 30^\circ) = \frac{20}{\sqrt{3}}\angle 150^\circ \approx 11,55\angle 150^\circ\\ \text{A}.

Resposta

I_{AB}=\dfrac{20}{\sqrt{3}}\angle 30^\circ\\ \text{A}\approx 11,55\angle 30^\circ\\ \text{A}
I_{BC}=\dfrac{20}{\sqrt{3}}\angle -90^\circ\\ \text{A}\approx 11,55\angle -90^\circ\\ \text{A}
I_{CA}=\dfrac{20}{\sqrt{3}}\angle 150^\circ\\ \text{A}\approx 11,55\angle 150^\circ\\ \text{A}
I_a=20\angle 0^\circ\\ \text{A},\quad I_b=20\angle -120^\circ\\ \text{A},\quad I_c=20\angle 120^\circ\\ \text{A}

Exercícios relacionados