Para cada função abaixo calcule os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 em
.
Passo 1
O enunciado pede que, para a função
e o ponto
, calculemos os polinômios de Taylor de ordem 1 e de ordem 2 centrados em
.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de expansão é
. - Queremos o polinômio de Taylor de ordem 1 (reta/tangente linear) e de ordem 2 (incluindo termos quadráticos) em torno de
.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2 para funções de duas variáveis centrado em
.
A forma prática é:
onde:
-
é o gradiente em , isto é . -
é a matriz Hessiana em , cujas entradas são as segundas derivadas parciais:
O polinômio de ordem 1 é apenas a parte até o termo linear:
Aqui
e
, então usaremos
e
.]
Passo 3
Calculemos o valor da função no ponto
.
A função é
. Logo
Esse será o termo constante nos polinômios de Taylor.
Passo 4
Agora calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e o gradiente.
Derivadas:
Avaliação em
:
Portanto o gradiente em
é
Passo 5
Com o gradiente, formamos o termo linear do polinômio:
Assim, provisoriamente temos
Mas ainda vamos construir
incluindo os termos quadráticos.]
Passo 6
Calculemos as segundas derivadas parciais e a Hessiana.
Segundas derivadas:
Avaliação em
:
Assim a matriz Hessiana em
é
Passo 7
Agora montamos o termo quadrático:
Como
e
são zero, isso dá
Passo 8
Juntando todos os termos obtemos os polinômios:
Ordem 1:
Ordem 2:
Resposta
Polinômio de Taylor de ordem 1:
Polinômio de Taylor de ordem 2: