Para cada função abaixo calcule os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 em P.
f(x, y)=e^{x} \cos (y), P=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede que, para a função f(x,y)=e^{x}\cos(y) e o ponto P=(0,0), calculemos os polinômios de Taylor de ordem 1 e de ordem 2 centrados em P.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=e^{x}\cos(y).
  • O ponto de expansão é P=(0,0).
  • Queremos o polinômio de Taylor de ordem 1 (reta/tangente linear) e de ordem 2 (incluindo termos quadráticos) em torno de P.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2 para funções de duas variáveis centrado em P=(a,b).
A forma prática é:
T_2(x,y)=f(a,b)+\nabla f(a,b)\cdot\begin{pmatrix}x-a\\[4pt]y-b\end{pmatrix} +\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}x-a & y-b\end{pmatrix} H_f(a,b)\begin{pmatrix}x-a\\[4pt]y-b\end{pmatrix},
onde:
  • \nabla f(a,b) é o gradiente em (a,b), isto é \nabla f=\big(\tfrac{\partial f}{\partial x},\tfrac{\partial f}{\partial y}\big).
  • H_f(a,b) é a matriz Hessiana em (a,b), cujas entradas são as segundas derivadas parciais:
H_f(a,b)=\begin{pmatrix} \tfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b) & \tfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(a,b)\\[6pt] \tfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(a,b) & \tfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b) \end{pmatrix}.
O polinômio de ordem 1 é apenas a parte até o termo linear:
T_1(x,y)=f(a,b)+\nabla f(a,b)\cdot\begin{pmatrix}x-a\\[4pt]y-b\end{pmatrix}.
Aqui a=0 e b=0, então usaremos x-a=x e y-b=y.]

Passo 3

Calculemos o valor da função no ponto P=(0,0).
A função é f(x,y)=e^{x}\cos(y). Logo
f(0,0)=e^{0}\cos(0)=1\cdot 1=1.
Esse será o termo constante nos polinômios de Taylor.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e o gradiente.
Derivadas:
\tfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{x}\cos(y),
\tfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-e^{x}\sin(y).
Avaliação em (0,0):
\tfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=e^{0}\cos(0)=1,
\tfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-e^{0}\sin(0)=0.
Portanto o gradiente em (0,0) é
\nabla f(0,0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Com o gradiente, formamos o termo linear do polinômio:
\nabla f(0,0)\cdot\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=1\cdot x + 0\cdot y = x.
Assim, provisoriamente temos
T_1(x,y)=1+x.
Mas ainda vamos construir T_2 incluindo os termos quadráticos.]

Passo 6

Calculemos as segundas derivadas parciais e a Hessiana.
Segundas derivadas:
\tfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=e^{x}\cos(y),
\tfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=-e^{x}\sin(y),
\tfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=-e^{x}\cos(y).
Avaliação em (0,0):
\tfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,0)=e^{0}\cos(0)=1,
\tfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)=-e^{0}\sin(0)=0,
\tfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,0)=-e^{0}\cos(0)=-1.
Assim a matriz Hessiana em (0,0) é
H_f(0,0)=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora montamos o termo quadrático:
\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} =\tfrac{1}{2}\big(1\cdot x^2 + 0\cdot xy + 0\cdot yx + (-1)\cdot y^2\big).
Como 0\cdot xy e 0\cdot yx são zero, isso dá
\tfrac{1}{2}\big(x^2 - y^2\big)=\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{y^2}{2}.]

Passo 8

Juntando todos os termos obtemos os polinômios:
Ordem 1:
T_1(x,y)=1 + x.
Ordem 2:
T_2(x,y)=1 + x + \tfrac{x^2}{2} - \tfrac{y^2}{2}.

Resposta

Polinômio de Taylor de ordem 1: T_1(x,y)=1+x
Polinômio de Taylor de ordem 2: T_2(x,y)=1+x+\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{y^2}{2}

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