Para cada função abaixo, determine a derivada
aplicando as regras de derivação polinomial:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada
da função dada. A função é
Informações relevantes que o enunciado dá (cada termo separado):
- primeiro termo:
; - segundo termo:
; - terceiro termo:
; - quarto termo:
(constante).
Passo 2
Relembrando as regras básicas de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, para funções
e ,
Isto permite derivar termo a termo em um polinômio.
- Regra do coeficiente constante: se
é constante, então . Ou seja, pode-se tirar constantes para fora da derivação. - Regra do poder (power rule): para inteiro
,
Explicação curta e intuitiva da regra do poder: quando você faz pequenas alterações em
, o termo
muda aproximadamente como
vezes
vezes a variação de
; no cálculo isso vem do limite do quociente de diferenças, e na prática para provas e exercícios usa-se a fórmula direta.
- Derivada de constante: se
é constante então .
Com essas regras, podemos derivar cada termo da função original e somar os resultados.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
.
Reescrevendo como constante multiplicando a potência:
Reescrevendo como constante multiplicando a potência:
Aplicando a regra do coeficiente e a regra do poder:
Agora simplificando a multiplicação:
Passo 4
Derivada do segundo termo
.
Reescrevendo:
Reescrevendo:
Aplicando as regras:
Simplificando:
Passo 5
Derivada do terceiro termo
.
Aqui é constante e
tem derivada
, então
Aqui
Passo 6
Derivada do quarto termo
.
Como é uma constante, sua derivada é zero:
Como
Passo 7
Agora somo as derivadas termo a termo (pela regra da soma). Juntando os resultados dos passos anteriores:
Simplificando a expressão final: