Para cada função abaixo, determine a derivada f^{\prime}(x) aplicando as regras de derivação polinomial:
f(x)=\frac{x^{6}}{6}-\frac{x^{4}}{2}+10 x-\pi

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada f^{\prime}(x) da função dada. A função é
f(x)=\frac{x^{6}}{6}-\frac{x^{4}}{2}+10 x-\pi.
Informações relevantes que o enunciado dá (cada termo separado):
  • primeiro termo: \dfrac{x^{6}}{6};
  • segundo termo: -\dfrac{x^{4}}{2};
  • terceiro termo: 10x;
  • quarto termo: -\pi (constante).

Passo 2

Relembrando as regras básicas de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, para funções g e h,
(g+h)'=g'+h'.
Isto permite derivar termo a termo em um polinômio.
  • Regra do coeficiente constante: se c é constante, então (c\cdot u(x))' = c\cdot u'(x). Ou seja, pode-se tirar constantes para fora da derivação.
  • Regra do poder (power rule): para inteiro n\ge 0,
\bigl(x^{n}\bigr)' = n\,x^{n-1}.
Explicação curta e intuitiva da regra do poder: quando você faz pequenas alterações em x, o termo x^{n} muda aproximadamente como n vezes x^{n-1} vezes a variação de x; no cálculo isso vem do limite do quociente de diferenças, e na prática para provas e exercícios usa-se a fórmula direta.
  • Derivada de constante: se c é constante então c'=0.
Com essas regras, podemos derivar cada termo da função original e somar os resultados.

Passo 3

Derivada do primeiro termo \dfrac{x^{6}}{6}.
Reescrevendo como constante multiplicando a potência:
\frac{x^{6}}{6} = \left(\frac{1}{6}\right)x^{6}.
Aplicando a regra do coeficiente e a regra do poder:
\left(\left(\frac{1}{6}\right)x^{6}\right)' = \frac{1}{6}\cdot\bigl(x^{6}\bigr)' = \frac{1}{6}\cdot 6\,x^{5}.
Agora simplificando a multiplicação:
\frac{1}{6}\cdot 6\,x^{5} = 1\cdot x^{5} = x^{5}.

Passo 4

Derivada do segundo termo -\dfrac{x^{4}}{2}.
Reescrevendo:
-\frac{x^{4}}{2} = \left(-\frac{1}{2}\right)x^{4}.
Aplicando as regras:
\left(\left(-\frac{1}{2}\right)x^{4}\right)' = -\frac{1}{2}\cdot\bigl(x^{4}\bigr)' = -\frac{1}{2}\cdot 4\,x^{3}.
Simplificando:
-\frac{1}{2}\cdot 4\,x^{3} = -2\,x^{3}.

Passo 5

Derivada do terceiro termo 10x.
Aqui 10 é constante e x tem derivada 1, então
(10x)' = 10\cdot (x)' = 10\cdot 1 = 10.

Passo 6

Derivada do quarto termo -\pi.
Como \pi é uma constante, sua derivada é zero:
(-\pi)' = 0.

Passo 7

Agora somo as derivadas termo a termo (pela regra da soma). Juntando os resultados dos passos anteriores:
f'(x) = x^{5} + \bigl(-2x^{3}\bigr) + 10 + 0.
Simplificando a expressão final:
f'(x)=x^{5}-2x^{3}+10.

Resposta

f'(x)=x^{5}-2x^{3}+10

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