Para cada função abaixo, determine a derivada
aplicando as regras de derivação polinomial:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada
da função polinomial abaixo aplicando as regras de derivação polinomial. A função dada é:
Informações relevantes fornecidas:
- Os termos do polinômio são
, , , e . - A tarefa é obter
, ou seja, a derivada de em função de .
Passo 2
Relembrando as regras básicas que serão usadas (cada fórmula explicada com calma):
- Regra do expoente (power rule): para qualquer número real
,
Aqui
é a variável e
é o expoente; a regra diz que ao derivar traz-se o expoente para multiplicar e diminui-se o expoente em uma unidade.
- Regra da constante múltipla: se
é constante e é diferenciável, então
Ou seja, constantes multiplicativas ficam fora da operação de derivada.
- Regra da soma: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas:
- Derivada de constante: se
é número constante,
Essas regras juntas permitem derivar termo a termo um polinômio.
Passo 3
Aplicando a regra do expoente e da constante múltipla ao primeiro termo
.
- O expoente é
. Pela regra do expoente, . - Pela regra da constante múltipla,
.
Logo,
Passo 4
Derivando o segundo termo
.
- Primeiro,
. - Multiplicando pelo coeficiente
:
Passo 5
Derivando o terceiro termo
.
- Aqui o coeficiente é
. Pela regra do expoente, . - Portanto,
Passo 6
Derivando o quarto termo
.
- Para
(expoente ) vale porque . - Multiplicando pelo coeficiente
:
Passo 7
Derivando o quinto termo, a constante
.
- Pela regra da derivada de constante,
Passo 8
Somando as derivadas termo a termo (pela regra da soma) obtém-se a derivada de
. As derivadas parciais calculadas foram:
A expressão final simplificada será apresentada apenas na seção de resposta, abaixo.
Passo 9
Dica rápida para a prova: em polinômios sempre faça termo a termo usando “trago o expoente para frente e subtraio 1 do expoente”. Revise também que constantes somadas desaparecem ao derivar. Se precisar conferir, derive mentalmente cada termo curto antes de escrever.