Para cada função abaixo, determine a derivada f^{\prime}(x) aplicando as regras de derivação polinomial:
f(x)=15 x^{4}-8 x^{3}+x^{2}-12 x+7

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada f'(x) da função polinomial abaixo aplicando as regras de derivação polinomial. A função dada é:
f(x)=15x^{4}-8x^{3}+x^{2}-12x+7.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os termos do polinômio são 15x^{4}, -8x^{3}, x^{2}, -12x e 7.
  • A tarefa é obter f'(x), ou seja, a derivada de f em função de x.

Passo 2

Relembrando as regras básicas que serão usadas (cada fórmula explicada com calma):
  • Regra do expoente (power rule): para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente; a regra diz que ao derivar traz-se o expoente para multiplicar e diminui-se o expoente em uma unidade.
  • Regra da constante múltipla: se a é constante e g(x) é diferenciável, então
\frac{d}{dx}\bigl(a\cdot g(x)\bigr)=a\cdot g'(x).
Ou seja, constantes multiplicativas ficam fora da operação de derivada.
  • Regra da soma: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas:
\frac{d}{dx}\bigl(g(x)+h(x)\bigr)=g'(x)+h'(x).
  • Derivada de constante: se c é número constante,
\frac{d}{dx}c=0.
Essas regras juntas permitem derivar termo a termo um polinômio.

Passo 3

Aplicando a regra do expoente e da constante múltipla ao primeiro termo 15x^{4}.
  • O expoente é 4. Pela regra do expoente, \frac{d}{dx}(x^{4})=4x^{3}.
  • Pela regra da constante múltipla, \frac{d}{dx}(15x^{4})=15\cdot \frac{d}{dx}(x^{4}).
    Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(15x^{4}\bigr)=15\cdot 4x^{3}=60x^{3}.

Passo 4

Derivando o segundo termo -8x^{3}.
  • Primeiro, \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
  • Multiplicando pelo coeficiente -8:
\frac{d}{dx}\bigl(-8x^{3}\bigr)=-8\cdot 3x^{2}=-24x^{2}.

Passo 5

Derivando o terceiro termo x^{2}.
  • Aqui o coeficiente é 1. Pela regra do expoente, \frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
  • Portanto,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.

Passo 6

Derivando o quarto termo -12x.
  • Para x (expoente 1) vale \frac{d}{dx}(x)=1 porque \frac{d}{dx}(x^{1})=1\cdot x^{0}=1.
  • Multiplicando pelo coeficiente -12:
\frac{d}{dx}\bigl(-12x\bigr)=-12\cdot 1=-12.

Passo 7

Derivando o quinto termo, a constante 7.
  • Pela regra da derivada de constante,
\frac{d}{dx}7=0.

Passo 8

Somando as derivadas termo a termo (pela regra da soma) obtém-se a derivada de f. As derivadas parciais calculadas foram:
60x^{3},\quad -24x^{2},\quad 2x,\quad -12,\quad 0.
A expressão final simplificada será apresentada apenas na seção de resposta, abaixo.

Passo 9

Dica rápida para a prova: em polinômios sempre faça termo a termo usando “trago o expoente para frente e subtraio 1 do expoente”. Revise também que constantes somadas desaparecem ao derivar. Se precisar conferir, derive mentalmente cada termo curto antes de escrever.

Resposta

f'(x)=60x^{3}-24x^{2}+2x-12

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