9- Demonstre como surge o termo 3,6 na conversão da velocidade de \mathrm{km} / \mathrm{h} para \mathrm{m} / \mathrm{s} e vice-versa.

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar de onde surge o fator 3,6 usado para converter velocidades entre \mathrm{km/h} e \mathrm{m/s} (nos dois sentidos).
Informações relevantes dadas / que vamos usar:
  • Relação entre comprimento: 1\\ \mathrm{km}=1000\\ \mathrm{m}.
  • Relação entre tempo: 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}.
    Nada mais é fornecido; com essas duas igualdades já dá para fazer a demonstração.

Passo 2

Conceito básico de conversão de unidades (a “aula rápida”): uma velocidade é uma razão distância/tempo. Se eu tenho uma velocidade em \mathrm{km/h} e quero em \mathrm{m/s}, preciso reescrever a distância em metros e o tempo em segundos, usando fatores que valem 1 (fatores de conversão). Esses fatores trocam unidades sem alterar o valor físico, por exemplo:
1=\frac{1000\\ \mathrm{m}}{1\\ \mathrm{km}} \qquad\text{e}\qquad 1=\frac{1\\ \mathrm{h}}{3600\\ \mathrm{s}}.
Multiplicar pela forma adequada desses fatores transforma as unidades.

Passo 3

Converter uma velocidade genérica v dada em \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}. Escrevo v como
v=\underbrace{v}_{\mathrm{km/h}}=\frac{v\\ \mathrm{km}}{1\\ \mathrm{h}}.
Agora substituo \mathrm{km} por \mathrm{m} e \mathrm{h} por \mathrm{s} usando os fatores de conversão (multiplico por 1 escrito de forma útil):
v=\frac{v\\ \mathrm{km}}{1\\ \mathrm{h}}\cdot\frac{1000\\ \mathrm{m}}{1\\ \mathrm{km}}\cdot\frac{1\\ \mathrm{h}}{3600\\ \mathrm{s}}.
Repare que \mathrm{km} e \mathrm{h} se cancelam:
v=\frac{v\cdot 1000\\ \mathrm{m}}{3600\\ \mathrm{s}}.
Coloco o factor numérico em evidência:
v=\left(\frac{1000}{3600}\right)\frac{v\\ \mathrm{m}}{\mathrm{s}}.

Passo 4

Simplificar o fator \dfrac{1000}{3600}. Dividindo numerador e denominador por 100 (ou diretamente por 1000):
\frac{1000}{3600}=\frac{1000}{3600}=\frac{1}{3,6}.
Portanto a fórmula de conversão fica
v_{\mathrm{m/s}}=\frac{v_{\mathrm{km/h}}}{3,6}.
Isto explica de onde vem o 3,6: é \dfrac{3600}{1000}=3,6 (ou equivalentemente \dfrac{1000}{3600}=\dfrac{1}{3,6} quando escrito como multiplicador para obter \mathrm{m/s}).

Passo 5

Converter no sentido contrário ( \mathrm{m/s} para \mathrm{km/h}). Parto de uma velocidade u em \mathrm{m/s}:
u=\frac{u\\ \mathrm{m}}{1\\ \mathrm{s}}.
Multiplico por fatores que transformem metros em quilômetros e segundos em horas:
u=\frac{u\\ \mathrm{m}}{1\\ \mathrm{s}}\cdot\frac{1\\ \mathrm{km}}{1000\\ \mathrm{m}}\cdot\frac{3600\\ \mathrm{s}}{1\\ \mathrm{h}}.
Cancelei \mathrm{m} e \mathrm{s}:
u=\frac{u\cdot 3600\\ \mathrm{km}}{1000\\ \mathrm{h}}=u\cdot\left(\frac{3600}{1000}\right)\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}.
Como \dfrac{3600}{1000}=3,6, obtemos
u_{\mathrm{km/h}}=u_{\mathrm{m/s}}\cdot 3,6.

Passo 6

Exemplos numéricos (para fixar e para você poder usar na prova sem pensar muito):
  • Converter 54\\ \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}:
54\div 3,6=15\\ \mathrm{m/s}.
  • Converter 20\\ \mathrm{m/s} para \mathrm{km/h}:
20\cdot 3,6=72\\ \mathrm{km/h}.
Dica de memorização: multiplicar por 3,6 é o mesmo que multiplicar por 36 e dividir por 10 (útil para cálculo rápido de cabeça).

Passo 7

Intuição física curta e simpática: um quilômetro tem 1000 metros e uma hora tem 3600 segundos. Se algo percorre 1\\ \mathrm{m/s}, em uma hora (3600 s) percorre 3600 metros, isto é 3,6 quilômetros. Por isso 1\\ \mathrm{m/s}=3,6\\ \mathrm{km/h}. Inversamente, 1\\ \mathrm{km/h} é \dfrac{1}{3,6}\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

v_{\mathrm{m/s}}=\dfrac{v_{\mathrm{km/h}}}{3,6}
v_{\mathrm{km/h}}=v_{\mathrm{m/s}}\cdot 3,6

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