Para cada função abaixo, determine a derivada f^{\prime}(x) aplicando as regras de derivação polinomial:
f(x)=2 x^{10}+5 x^{7}-x^{5}-3 x^{3}+20

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=2 x^{10}+5 x^{7}-x^{5}-3 x^{3}+20\, e pede para determinar a derivada f^{\prime}(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é soma de termos polinomiais: \,2 x^{10}, \,5 x^{7}, \,-x^{5}, \,-3 x^{3} e a constante \,20.
  • O que se pede é a derivada em termos de x, isto é, a função que dá a taxa de variação instantânea de f em cada ponto x.

Passo 2

Regra principal que vamos usar (regra do expoente/potência): para um monômio genérico \,a x^{n} (onde \,a é uma constante real e \,n é um número real), a derivada é dada por
\frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a\,n\,x^{n-1}.
Explicando as partes: \,a é o coeficiente multiplicador (um número), \,n é o expoente da potência, e a regra diz que multiplicamos o coeficiente pelo expoente e diminuímos o expoente em uma unidade. Exemplo rápido: para \,x^{3} (aqui a=1 e n=3) tem-se \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.

Passo 3

Aplicando a regra ao primeiro termo \,2 x^{10}: aqui \,a=2 e \,n=10. Logo
\frac{d}{dx}\bigl(2 x^{10}\bigr)=2\cdot 10 \,x^{10-1}=20 x^{9}.

Passo 4

Aplicando a regra ao segundo termo \,5 x^{7}: aqui \,a=5 e \,n=7. Então
\frac{d}{dx}\bigl(5 x^{7}\bigr)=5\cdot 7 \,x^{7-1}=35 x^{6}.

Passo 5

Aplicando a regra ao terceiro termo \,-x^{5}: este é \,a=-1 e \,n=5. Assim
\frac{d}{dx}\bigl(-x^{5}\bigr)=-1\cdot 5 \,x^{5-1}=-5 x^{4}.

Passo 6

Aplicando a regra ao quarto termo \,-3 x^{3}: aqui \,a=-3 e \,n=3. Logo
\frac{d}{dx}\bigl(-3 x^{3}\bigr)=-3\cdot 3 \,x^{3-1}=-9 x^{2}.

Passo 7

Derivada da constante: para qualquer constante \,C vale
\frac{d}{dx}C=0,
porque constantes não mudam quando x varia. Portanto
\frac{d}{dx}(20)=0.

Passo 8

A derivada da soma é a soma das derivadas dos termos. Somando os resultados obtidos nos passos anteriores obtemos a derivada pedida (a expressão final fica na seção de resposta).

Resposta

f^{\prime}(x)=20 x^{9}+35 x^{6}-5 x^{4}-9 x^{2}

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