Para cada função abaixo, determine a derivada f^{\prime}(x) aplicando as regras de derivação polinomial:
f(x)=\frac{3 x^{8}-4 x^{5}+2 x}{x} (Dica: Simplifique a divisão antes de derivar)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{3 x^{8}-4 x^{5}+2 x}{x}
e pede para determinar a derivada f^{\prime}(x). A dica do enunciado indica que primeiro devemos simplificar a divisão por x antes de derivar. Informações relevantes:
  • A função está escrita como uma fração cujo numerador é o polinômio 3 x^{8}-4 x^{5}+2 x e o denominador é x.
  • Objetivo final: encontrar f^{\prime}(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Simplificar a expressão dividindo cada termo do numerador por x. Fazer isso termo a termo:
\frac{3x^{8}}{x}=3x^{7},
\frac{-4x^{5}}{x}=-4x^{4},
\frac{2x}{x}=2.
Portanto a função simplificada é
f(x)=3x^{7}-4x^{4}+2.

Passo 3

Explicar a regra que vamos usar (a versão mastigada do “power rule”): para um termo do tipo a x^{n}, onde a é uma constante, x é a variável e n é um número inteiro não-negativo, a derivada é dada por
\frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a\cdot n\;x^{n-1}.
O que isso significa, em palavras: multiplica-se o coeficiente a pelo expoente n e diminui-se o expoente em uma unidade. Exemplo rápido para fixar: a derivada de 5x^{3} é 5\cdot 3\,x^{2}=15x^{2}. Além disso, a derivada de uma constante (um número sem x) é zero, ou seja,
\frac{d}{dx}\text{(c)}=0\quad\text{para qualquer constante }c.

Passo 4

Aplicar a regra termo a termo à função simplificada f(x)=3x^{7}-4x^{4}+2.
Derivada do primeiro termo 3x^{7}:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{7}\bigr)=3\cdot 7\,x^{6}=21x^{6}.
Derivada do segundo termo -4x^{4}:
\frac{d}{dx}\bigl(-4x^{4}\bigr)=-4\cdot 4\,x^{3}=-16x^{3}.
Derivada do terceiro termo 2 (constante):
\frac{d}{dx}(2)=0.
Somando as derivadas dos termos (porque a derivada da soma é a soma das derivadas), obtemos
f^{\prime}(x)=21x^{6}-16x^{3}.

Passo 5

Forma factorizada (opcional, útil em provas para simplificar resultados): fator comum x^{3}:
f^{\prime}(x)=x^{3}\bigl(21x^{3}-16\bigr).
Ambas as formas estão corretas; a forma expandida 21x^{6}-16x^{3} é geralmente a resposta direta pedida.

Resposta

f^{\prime}(x)=21x^{6}-16x^{3}

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