Para cada função abaixo, determine a derivada
aplicando as regras de derivação polinomial:
(Dica: Simplifique a divisão antes de derivar)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a derivada
. A dica do enunciado indica que primeiro devemos simplificar a divisão por
antes de derivar. Informações relevantes:
- A função está escrita como uma fração cujo numerador é o polinômio
e o denominador é . - Objetivo final: encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Simplificar a expressão dividindo cada termo do numerador por
. Fazer isso termo a termo:
Portanto a função simplificada é
Passo 3
Explicar a regra que vamos usar (a versão mastigada do “power rule”): para um termo do tipo
, onde
é uma constante,
é a variável e
é um número inteiro não-negativo, a derivada é dada por
O que isso significa, em palavras: multiplica-se o coeficiente
pelo expoente
e diminui-se o expoente em uma unidade. Exemplo rápido para fixar: a derivada de
é
. Além disso, a derivada de uma constante (um número sem
) é zero, ou seja,
Passo 4
Aplicar a regra termo a termo à função simplificada
.
Derivada do primeiro termo
:
Derivada do segundo termo
:
Derivada do terceiro termo
(constante):
Somando as derivadas dos termos (porque a derivada da soma é a soma das derivadas), obtemos
Passo 5
Forma factorizada (opcional, útil em provas para simplificar resultados): fator comum
:
Ambas as formas estão corretas; a forma expandida
é geralmente a resposta direta pedida.