Para cada função abaixo, determine a derivada f^{\prime}(x) aplicando as regras de derivação polinomial:
f(x)=4 x^{5}-\sqrt{2} x^{3}+\frac{1}{3} x^{2}-e^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=4 x^{5}-\sqrt{2}\, x^{3}+\frac{1}{3}\, x^{2}-e^{2}
e pede para determinar f^{\prime}(x), ou seja, a derivada de f em relação a x.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Há quatro termos separados por soma/subtração: 4 x^{5}, -\sqrt{2}\, x^{3}, \dfrac{1}{3}\, x^{2} e -e^{2}.
  • \sqrt{2} e e^{2} são constantes (não dependem de x).
  • A tarefa é aplicar as regras de derivação polinomial para cada termo e combinar os resultados.

Passo 2

Vou lembrar as regras que vou usar (explicadas de forma bem direta):
  • Regra do expoente (power rule): para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é um número fixo; a regra diz como diminuir o expoente em 1 e multiplicar pelo expoente.
  • Regra do fator constante (constant multiple): se c é constante,
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot g'(x).
Isto significa que um coeficiente numérico pode ser puxado para fora da derivada.
  • Derivada de constante: se C não depende de x,
\frac{d}{dx}\text{(C)}=0.
Exemplos rápidos para fixar: \dfrac{d}{dx}(3x^{4})=3\cdot 4 x^{3}=12x^{3}. \dfrac{d}{dx}(5)=0.

Passo 3

Derivo o primeiro termo \,4 x^{5}. Aqui c=4 e n=5. Usando as duas regras:
\frac{d}{dx}\bigl(4 x^{5}\bigr)=4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr)=4\cdot(5 x^{4})=20 x^{4}.

Passo 4

Derivo o segundo termo -\sqrt{2}\, x^{3}. O coeficiente -\sqrt{2} é constante e n=3. Então:
\frac{d}{dx}\bigl(-\sqrt{2}\, x^{3}\bigr)=-\sqrt{2}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=-\sqrt{2}\cdot(3 x^{2})=-3\sqrt{2}\, x^{2}.

Passo 5

Derivo o terceiro termo \dfrac{1}{3}\, x^{2}. Coeficiente c=\dfrac{1}{3} e n=2. Portanto:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{3}x^{2}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=\frac{1}{3}\cdot(2x)=\frac{2}{3}\,x.

Passo 6

Derivo o quarto termo -e^{2}. Como e^{2} é uma constante (não depende de x), aplica-se a regra da derivada de constante:
\frac{d}{dx}\bigl(-e^{2}\bigr)=0.

Passo 7

Agora juntei as derivadas de cada termo (cada uma obtida nos passos anteriores). Os resultados individuais foram:
  • de 4x^{5} veio 20x^{4};
  • de -\sqrt{2}\,x^{3} veio -3\sqrt{2}\,x^{2};
  • de \dfrac{1}{3}x^{2} veio \dfrac{2}{3}x;
  • de -e^{2} veio 0.

Resposta

f^{\prime}(x)=20 x^{4}-3\sqrt{2}\,x^{2}+\frac{2}{3}\,x

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