Para cada função abaixo, determine a derivada
aplicando as regras de derivação polinomial:
(Dica: Distribua o polinômio antes de derivar)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a derivada
aplicando as regras de derivação polinomial. Foi dada a dica de distribuir o polinômio antes de derivar. Informações relevantes:
- A função está escrita como produto de dois polinômios:
e . - Objetivo: calcular
.
Passo 2
Primeiro passo prático: distribuir (multiplicar) os dois polinômios para obter um polinômio em forma soma de termos monômios. Fazer isso facilita aplicar a regra de derivação termo a termo.
Mostrando a multiplicação termo a termo:
Mostrando a multiplicação termo a termo:
Calculando cada produto:
Portanto:
Passo 3
Agora uma mini-aula sobre as regras que usaremos (bem amiguinha e prática):
- Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja,
. - Regra do coeficiente constante: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Ou seja,
. - Regra de potência (mais importante aqui): para
um inteiro positivo, . Exemplos rápidos: , . - A derivada de uma constante é zero:
.
Passo 4
Aplicando as regras termo a termo ao polinômio obtido em
:
- Derivada de
é porque pela regra de potência . - Derivada de
é porque . - Derivada de
é porque . - Derivada de
é porque constantes têm derivada zero.
Somando tudo:
Passo 5
Simplificando a soma dos termos:
Como checagem rápida (opcional): aplicando a regra do produto diretamente a
e
dá
, mesmo resultado — ótimo sinal que está correto.