Para cada função abaixo, determine a derivada f^{\prime}(x) aplicando as regras de derivação polinomial:
f(x)=\left(x^{2}+3\right)(x-1) (Dica: Distribua o polinômio antes de derivar)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\left(x^{2}+3\right)(x-1) e pede para determinar a derivada f^{\prime}(x) aplicando as regras de derivação polinomial. Foi dada a dica de distribuir o polinômio antes de derivar. Informações relevantes:
  • A função está escrita como produto de dois polinômios: x^{2}+3 e x-1.
  • Objetivo: calcular f^{\prime}(x).

Passo 2

Primeiro passo prático: distribuir (multiplicar) os dois polinômios para obter um polinômio em forma soma de termos monômios. Fazer isso facilita aplicar a regra de derivação termo a termo.
Mostrando a multiplicação termo a termo:
(x^{2}+3)(x-1)=x^{2}\cdot x + x^{2}\cdot(-1) + 3\cdot x + 3\cdot(-1).
Calculando cada produto:
x^{2}\cdot x = x^{3},\qquad x^{2}\cdot(-1)=-x^{2},\qquad 3\cdot x=3x,\qquad 3\cdot(-1)=-3.
Portanto:
(x^{2}+3)(x-1)=x^{3}-x^{2}+3x-3.

Passo 3

Agora uma mini-aula sobre as regras que usaremos (bem amiguinha e prática):
  • Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, \dfrac{d}{dx}[g(x)+h(x)]=g'(x)+h'(x).
  • Regra do coeficiente constante: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Ou seja, \dfrac{d}{dx}[c\cdot g(x)]=c\cdot g'(x).
  • Regra de potência (mais importante aqui): para n um inteiro positivo, \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}. Exemplos rápidos: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}, \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.
  • A derivada de uma constante é zero: \dfrac{d}{dx}\text{(c)}=0.

Passo 4

Aplicando as regras termo a termo ao polinômio obtido em \displaystyle x^{3}-x^{2}+3x-3:
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2} porque pela regra de potência \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
  • Derivada de -x^{2} é -2x porque \dfrac{d}{dx}(-x^{2})=-\dfrac{d}{dx}(x^{2})=-2x.
  • Derivada de 3x é 3 porque \dfrac{d}{dx}(3x)=3\cdot\dfrac{d}{dx}(x)=3\cdot1=3.
  • Derivada de -3 é 0 porque constantes têm derivada zero.
Somando tudo:
f^{\prime}(x)=3x^{2}-2x+3+0.

Passo 5

Simplificando a soma dos termos:
f^{\prime}(x)=3x^{2}-2x+3.
Como checagem rápida (opcional): aplicando a regra do produto diretamente a u=x^{2}+3 e v=x-1 u'v+uv'=(2x)(x-1)+(x^{2}+3)(1)=2x^{2}-2x+x^{2}+3=3x^{2}-2x+3, mesmo resultado — ótimo sinal que está correto.

Resposta

f^{\prime}(x)=3x^{2}-2x+3

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