Para cada função abaixo, determine a derivada f^{\prime}(x) aplicando as regras de derivação polinomial:
f(x)=-x^{9}+2 x^{6}-4 x^{4}+5 x^{3}-x^{2}+8 x-1

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada f^{\prime}(x) da função
f(x) = -x^{9} + 2 x^{6} - 4 x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} + 8 x - 1.
Informações dadas (listei os termos para ficar claro):
  • termo 1: -x^{9}
  • termo 2: 2 x^{6}
  • termo 3: -4 x^{4}
  • termo 4: 5 x^{3}
  • termo 5: -x^{2}
  • termo 6: 8 x
  • termo 7: -1
O que se quer: calcular f^{\prime}(x), a derivada dessa soma de termos.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (explicadinhas e com exemplo):
  • Regra do expoente (power rule): para qualquer inteiro n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr) = n x^{n-1}.
Aqui x é a variável independente e n é o expoente; a regra diz que para derivar x^n você multiplica por n e diminui o expoente em 1.
  • Linearidade da derivada (soma e constante multiplicativa): para constantes reais a,b e funções u(x),v(x),
\frac{d}{dx}\bigl(a\,u(x)+b\,v(x)\bigr) = a\,u'(x)+b\,v'(x).
Isto permite derivar termo a termo e puxar constantes para fora.
  • Derivada de constante: para uma constante c,
\frac{d}{dx} c = 0.
Exemplo rápido: se g(x)=3x^{4}, então g'(x)=3\cdot 4 x^{3}=12x^{3}. Se h(x)=7, então h'(x)=0.

Passo 3

Derivando o primeiro termo -x^{9}.
Aplicando linearidade: a constante -1 sai na frente. Usando a regra do expoente para x^{9}:
\frac{d}{dx}\bigl(-x^{9}\bigr) = -1\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{9}\bigr) = -1\cdot 9 x^{8} = -9 x^{8}.
Explicação: multiplicar por -1 e aplicar \frac{d}{dx}(x^{9})=9x^{8}.

Passo 4

Derivando 2 x^{6}.
Constante 2 sai na frente e aplica-se a regra do expoente:
\frac{d}{dx}\bigl(2 x^{6}\bigr) = 2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{6}\bigr) = 2\cdot 6 x^{5} = 12 x^{5}.
Obs.: sempre multiplicar o coeficiente pelo expoente e reduzir o expoente em 1.

Passo 5

Derivando -4 x^{4}:
\frac{d}{dx}\bigl(-4 x^{4}\bigr) = -4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr) = -4\cdot 4 x^{3} = -16 x^{3}.

Passo 6

Derivando 5 x^{3}:
\frac{d}{dx}\bigl(5 x^{3}\bigr) = 5\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr) = 5\cdot 3 x^{2} = 15 x^{2}.

Passo 7

Derivando -x^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(-x^{2}\bigr) = -1\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) = -1\cdot 2 x = -2 x.

Passo 8

Derivando 8 x. Aqui reconhece-se 8x = 8 x^{1}. Usando a regra do expoente:
\frac{d}{dx}\bigl(8 x\bigr) = 8\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{1}\bigr) = 8\cdot 1 x^{0} = 8.
Observação: x^{0}=1, então o resultado é a constante 8.

Passo 9

Derivando a constante -1:
\frac{d}{dx}(-1)=0.

Passo 10

Agora que derivamos cada termo separadamente, juntamos (por linearidade) os derivados termo a termo. O resultado final está na seção de resposta abaixo.

Resposta

-9 x^{8} + 12 x^{5} - 16 x^{3} + 15 x^{2} - 2 x + 8

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