Para cada função abaixo, determine a derivada
aplicando as regras de derivação polinomial:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada
da função
Informações dadas (listei os termos para ficar claro):
- termo 1:
- termo 2:
- termo 3:
- termo 4:
- termo 5:
- termo 6:
- termo 7:
O que se quer: calcular
, a derivada dessa soma de termos.
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (explicadinhas e com exemplo):
- Regra do expoente (power rule): para qualquer inteiro
,
Aqui
é a variável independente e
é o expoente; a regra diz que para derivar
você multiplica por
e diminui o expoente em
.
- Linearidade da derivada (soma e constante multiplicativa): para constantes reais
e funções ,
Isto permite derivar termo a termo e puxar constantes para fora.
- Derivada de constante: para uma constante
,
Exemplo rápido: se
, então
. Se
, então
.
Passo 3
Derivando o primeiro termo
.
Aplicando linearidade: a constante sai na frente. Usando a regra do expoente para
:
Aplicando linearidade: a constante
Explicação: multiplicar por
e aplicar
.
Passo 4
Derivando
.
Constante sai na frente e aplica-se a regra do expoente:
Constante
Obs.: sempre multiplicar o coeficiente pelo expoente e reduzir o expoente em
.
Passo 5
Derivando
:
Passo 6
Derivando
:
Passo 7
Derivando
:
Passo 8
Derivando
. Aqui reconhece-se
. Usando a regra do expoente:
Observação:
, então o resultado é a constante
.
Passo 9
Derivando a constante
:
Passo 10
Agora que derivamos cada termo separadamente, juntamos (por linearidade) os derivados termo a termo. O resultado final está na seção de resposta abaixo.