Para cada funçāo abaixo, determine:
  • o domínio
  • a derivada f^{\prime}(x)
  • os pontos críticos
  • o sinal de f^{\prime}(x) (com esquema na reta real)
  • os intervalos onde f é crescente e decrescente
  • a classificaçāo dos pontos críticos usando o teste da 1^{\text {a }} derivada
    (c) f(x)=x^{2} e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede várias coisas. Vou listar claramente o que devemos encontrar (sem resolver ainda):
  • Função dada: f(x)=x^{2}e^{-x}.
  • Pedidos:
    1. o domínio de f;
    2. a derivada f'(x);
    3. os pontos críticos;
    4. o sinal de f'(x) (com esquema na reta real);
    5. os intervalos onde f é crescente e decrescente;
    6. a classificação dos pontos críticos pelo teste da 1^{\text{a}} derivada.

Passo 2

Domínio — o que olhar e por quê.
Explicação didática: o domínio de uma função é o conjunto de x para os quais a expressão faz sentido. Aqui temos um polinômio x^{2} multiplicado por uma exponencial e^{-x}. Tanto x^{2} quanto e^{-x} estão definidos para todo x\in\mathbb{R}. Produto de funções definidas em toda \mathbb{R} também está definido em toda \mathbb{R}.
Portanto o domínio é
\text{dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Cálculo da derivada f'(x) — passo a passo com as regras usadas.
Regras que vamos usar:
  • Regra do produto: se f(x)=u(x)v(x) então f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Regra da cadeia aplicada à exponencial: se v(x)=e^{g(x)} então v'(x)=g'(x)e^{g(x)}.
Aqui tome u(x)=x^{2} e v(x)=e^{-x}.
  • u'(x)=2x (derivada do polinômio).
  • Para v(x)=e^{-x}, a função interna é g(x)=-x, então g'(x)=-1 e v'(x)=(-1)e^{-x}=-e^{-x}.
Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x\cdot e^{-x}+x^{2}\cdot(-e^{-x}).
Fatorando e^{-x} (que é útil porque simplifica a expressão):
f'(x)=e^{-x}\big(2x-x^{2}\big).
Podemos fatorar mais:
f'(x)=x(2-x)e^{-x}.
Observação útil: e^{-x}>0 para todo x, então o sinal de f'(x) é dado pelo fator x(2-x).

Passo 4

Encontrar os pontos críticos — definição e aplicação.
Definição didática: pontos críticos são pontos onde f'(x)=0 ou onde f' não existe. Aqui f'(x)=x(2-x)e^{-x} existe para todo x, pois é produto de funções suaves. Logo só precisamos resolver f'(x)=0.
Resolver
x(2-x)e^{-x}=0.
Como e^{-x}\neq0 para todo x, podemos dividir por ele; sobra
x(2-x)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=2.
Portanto os pontos críticos são x=0 e x=2.

Passo 5

Sinal de f'(x) — análise por intervalos e esquema na reta real.
Como já notado, e^{-x}>0 sempre, então o sinal de f'(x) vem de x(2-x). Vamos analisar o sinal do produto x(2-x):
  • Para x<0: x<0 (negativo) e 2-x>0 (positivo) ⇒ produto negativo ⇒ f'(x)<0.
  • Para 0<x<2: x>0 (positivo) e 2-x>0 (positivo) ⇒ produto positivo ⇒ f'(x)>0.
  • Para x>2: x>0 (positivo) e 2-x<0 (negativo) ⇒ produto negativo ⇒ f'(x)<0.
Esquema na reta real (marcando os críticos 0 e 2 e o sinal de f'):
-\infty \;\overset{f'<0}{\longrightarrow} \;0\; \;\overset{f'>0}{\longrightarrow} \;2\; \;\overset{f'<0}{\longrightarrow} \infty.
Em forma de intervalo:
(-\infty,0):\\ f'(x)<0,\qquad (0,2):\\ f'(x)>0,\qquad (2,\infty):\\ f'(x)<0.

Passo 6

Intervalos de crescimento e decrescimento.
Regra prática: quando f'(x)>0 a função é crescente; quando f'(x)<0 a função é decrescente.
Aplicando o sinal obtido:
  • f é crescente em (0,2).
  • f é decrescente em (-\infty,0) e em (2,\infty).

Passo 7

Classificação dos pontos críticos pelo teste da primeira derivada (explicação e aplicação).
Explicação didática do teste da 1ª derivada:
  • Se em um ponto crítico c a derivada muda de sinal de negativo para positivo (ou seja, f'<0 para f'>0), então f tem um mínimo local em c.
  • Se muda de positivo para negativo, então há um máximo local.
  • Se não muda de sinal, o teste é inconclusivo (podemos ter ponto de inflexão horizontal, por exemplo).
Aplicando aos nossos pontos críticos:
  • Em x=0: f' passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita). Logo x=0 é um mínimo local. Valor da função: f(0)=0^{2}e^{0}=0. Como f(x)\ge0 para todo x (produto de x^{2} não-negativo por e^{-x}>0), esse mínimo em 0 é também mínimo global com valor 0.
  • Em x=2: f' passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Logo x=2 é um máximo local. Valor da função: f(2)=2^{2}e^{-2}=4e^{-2}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
f'(x)=x(2-x)e^{-x}
Pontos críticos: x=0 e x=2
Sinal de f'(x): (-\infty,0):f'(x)<0,\quad (0,2):f'(x)>0,\quad (2,\infty):f'(x)<0
Crescente: (0,2)
Decrescente: (-\infty,0)\cup(2,\infty)
Classificação (teste da 1ª derivada): x=0 mínimo local (e global) com f(0)=0; x=2 máximo local com f(2)=4e^{-2}

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