Para cada funçāo abaixo, determine:
- o domínio
- a derivada
- os pontos críticos
- o sinal de
(com esquema na reta real)
- os intervalos onde
é crescente e decrescente
- a classificaçāo dos pontos críticos usando o teste da
derivada
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede várias coisas. Vou listar claramente o que devemos encontrar (sem resolver ainda):
- Função dada:
. - Pedidos:
- o domínio de
; - a derivada
; - os pontos críticos;
- o sinal de
(com esquema na reta real); - os intervalos onde
é crescente e decrescente; - a classificação dos pontos críticos pelo teste da
derivada.
- o domínio de
Passo 2
Domínio — o que olhar e por quê.
Explicação didática: o domínio de uma função é o conjunto de
para os quais a expressão faz sentido. Aqui temos um polinômio
multiplicado por uma exponencial
. Tanto
quanto
estão definidos para todo
. Produto de funções definidas em toda
também está definido em toda
.
Portanto o domínio é
Passo 3
Cálculo da derivada
— passo a passo com as regras usadas.
Regras que vamos usar:
- Regra do produto: se
então . - Regra da cadeia aplicada à exponencial: se
então .
Aqui tome
e
.
-
(derivada do polinômio). - Para
, a função interna é , então e
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
(que é útil porque simplifica a expressão):
Podemos fatorar mais:
Observação útil:
para todo
, então o sinal de
é dado pelo fator
.
Passo 4
Encontrar os pontos críticos — definição e aplicação.
Definição didática: pontos críticos são pontos onde
ou onde
não existe. Aqui
existe para todo
, pois é produto de funções suaves. Logo só precisamos resolver
.
Resolver
Como
para todo
, podemos dividir por ele; sobra
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Sinal de
— análise por intervalos e esquema na reta real.
Como já notado,
sempre, então o sinal de
vem de
. Vamos analisar o sinal do produto
:
- Para
: (negativo) e (positivo) ⇒ produto negativo ⇒ . - Para
: (positivo) e (positivo) ⇒ produto positivo ⇒ . - Para
: (positivo) e (negativo) ⇒ produto negativo ⇒ .
Esquema na reta real (marcando os críticos
e
e o sinal de
):
.
Em forma de intervalo:
Passo 6
Intervalos de crescimento e decrescimento.
Regra prática: quando
a função é crescente; quando
a função é decrescente.
Aplicando o sinal obtido:
-
é crescente em . -
é decrescente em e em .
Passo 7
Classificação dos pontos críticos pelo teste da primeira derivada (explicação e aplicação).
Explicação didática do teste da 1ª derivada:
- Se em um ponto crítico
a derivada muda de sinal de negativo para positivo (ou seja, para ), então tem um mínimo local em . - Se muda de positivo para negativo, então há um máximo local.
- Se não muda de sinal, o teste é inconclusivo (podemos ter ponto de inflexão horizontal, por exemplo).
Aplicando aos nossos pontos críticos:
- Em
: passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita). Logo é um mínimo local. Valor da função: . Como para todo (produto de não-negativo por ), esse mínimo em é também mínimo global com valor . - Em
: passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Logo é um máximo local. Valor da função: .
Resposta
Domínio:
Pontos críticos: e
Sinal de :
Crescente:
Decrescente:
Classificação (teste da 1ª derivada): mínimo local (e global) com
;
máximo local com
Pontos críticos:
Sinal de
Crescente:
Decrescente:
Classificação (teste da 1ª derivada):