o sinal de f^{\prime}(x) (com esquema na reta real)
os intervalos onde f é crescente e decrescente
a classificaçāo dos pontos críticos usando o teste da 1^{\text {a }} derivada
(b) f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}
Passo 1
O enunciado pede, para a função f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}:
o domínio;
a derivada f^{\prime}(x);
os pontos críticos;
o sinal de f^{\prime}(x) (com esquema na reta real);
os intervalos onde f é crescente e decrescente;
a classificação dos pontos críticos usando o teste da 1^{\text{a}} derivada.
Dados úteis que temos desde o enunciado:
a função é f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1};
o denominador é x^{2}+1.
Passo 2
Determinar o domínio.
O domínio são todos os x onde a expressão está bem definida (denominador diferente de zero). Aqui o denominador é x^{2}+1. Note que, para todo x\in\mathbb{R},
x^{2}+1\ge 1>0,
portanto nunca zera nem fica negativa. Conclusão: o denominador é sempre positivo e a função está definida para todo real. Logo o domínio é
\text{Dom}(f)=(-\infty,\infty).
Passo 3
Escolha do método para derivar e lembrete de regras:
Uma forma prática é reescrever f para simplificar a derivada. Observe que
Essa escrita é boa porque derivar 1 dá 0 e derivar \dfrac{1}{x^{2}+1} é direto usando a regra da cadeia combinada com a regra da potência para funções da forma u^{-1}.
Regra que usaremos (lembrando devagar):
Se g(x)=\dfrac{1}{u(x)}=u(x)^{-1}, então
g'(x)=-u'(x)\,u(x)^{-2}.
Para u(x)=x^{2}+1, tem-se u'(x)=2x.
Passo 4
Calcular a derivada passo a passo. Reescrevendo primeiro:
f(x)=1-\dfrac{1}{x^{2}+1}.
Chamando u(x)=x^{2}+1, então \dfrac{1}{u(x)}'s derivative is -u'(x)u(x)^{-2}. Assim,
(Dica extra rápida: usando a regra do quociente daria o mesmo resultado; este truque de escrever como 1-1/(x^2+1) só simplifica a conta.)
Passo 5
Encontrar os pontos críticos.
Por definição, pontos críticos são pontos do domínio onde f'(x)=0 ou onde f' não está definida.
Primeiro verificamos onde f' não está definida: o denominador (x^{2}+1)^{2} nunca é zero (já vimos que x^{2}+1>0 para todo x), então f' está definida para todo x\in\mathbb{R}.
Intervalos de crescimento e decrescimento.
Pelo teste de sinal da derivada:
f é decrescente quando f'(x)<0, isto é em (- \infty,0).
f é crescente quando f'(x)>0, isto é em (0,\infty).
Passo 8
Classificação do ponto crítico x=0 pelo teste da primeira derivada.
O teste da primeira derivada diz: se f' muda de sinal de negativo para positivo ao passar por um ponto crítico c, então f tem um mínimo local em c; se muda de positivo para negativo, máximo local; se não muda (mantém mesmo sinal), ponto de inflexão ou nenhum extremo local.
Aqui, de acordo com o esquema:
para x<0, f'(x)<0 (decrescente);
para x>0, f'(x)>0 (crescente).
Logo f' muda de negativo para positivo em x=0, portanto x=0 é um ponto de mínimo local.
Além disso, avaliando f(0):
f(0)=\dfrac{0^{2}}{0^{2}+1}=0.
Observação adicional (útil na prova): para todo x tem-se 0\le x^{2}<x^{2}+1, portanto 0\le \dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}<1. Assim f(0)=0 é também o mínimo global da função e a imagem de f é [0,1). A função não atinge 1 (limite quando |x|\to\infty é 1, mas nunca chega).
Resposta
Domínio: (-\infty,\infty)
Derivada: f'(x)=\dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}
Pontos críticos: x=0
Sinal de f'(x) (esquema): f'(x)<0 em (-\infty,0); f'(0)=0; f'(x)>0 em (0,\infty)
Intervalos crescente/decrescente: f é decrescente em (-\infty,0) e crescente em (0,\infty)
Classificação pelo teste da 1ª derivada: x=0 é mínimo (local e também mínimo global), com f(0)=0