Para cada funçāo abaixo, determine:
  • o domínio
  • a derivada f^{\prime}(x)
  • os pontos críticos
  • o sinal de f^{\prime}(x) (com esquema na reta real)
  • os intervalos onde f é crescente e decrescente
  • a classificaçāo dos pontos críticos usando o teste da 1^{\text {a }} derivada
    (b) f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede, para a função f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}:
  • o domínio;
  • a derivada f^{\prime}(x);
  • os pontos críticos;
  • o sinal de f^{\prime}(x) (com esquema na reta real);
  • os intervalos onde f é crescente e decrescente;
  • a classificação dos pontos críticos usando o teste da 1^{\text{a}} derivada.
Dados úteis que temos desde o enunciado:
  • a função é f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1};
  • o denominador é x^{2}+1.

Passo 2

Determinar o domínio.
O domínio são todos os x onde a expressão está bem definida (denominador diferente de zero). Aqui o denominador é x^{2}+1. Note que, para todo x\in\mathbb{R},
x^{2}+1\ge 1>0,
portanto nunca zera nem fica negativa. Conclusão: o denominador é sempre positivo e a função está definida para todo real. Logo o domínio é
\text{Dom}(f)=(-\infty,\infty).

Passo 3

Escolha do método para derivar e lembrete de regras:
Uma forma prática é reescrever f para simplificar a derivada. Observe que
\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}=\dfrac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}=1-\dfrac{1}{x^{2}+1}.
Essa escrita é boa porque derivar 1 0 e derivar \dfrac{1}{x^{2}+1} é direto usando a regra da cadeia combinada com a regra da potência para funções da forma u^{-1}.
Regra que usaremos (lembrando devagar):
  • Se g(x)=\dfrac{1}{u(x)}=u(x)^{-1}, então
g'(x)=-u'(x)\,u(x)^{-2}.
  • Para u(x)=x^{2}+1, tem-se u'(x)=2x.

Passo 4

Calcular a derivada passo a passo. Reescrevendo primeiro:
f(x)=1-\dfrac{1}{x^{2}+1}.
Chamando u(x)=x^{2}+1, então \dfrac{1}{u(x)}'s derivative is -u'(x)u(x)^{-2}. Assim,
\left(\dfrac{1}{x^{2}+1}\right)'=-\dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Como f(x)=1-\dfrac{1}{x^{2}+1}, temos
f'(x)=0-\left(-\dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\right)=\dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Portanto a derivada é
f'(x)=\dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
(Dica extra rápida: usando a regra do quociente daria o mesmo resultado; este truque de escrever como 1-1/(x^2+1) só simplifica a conta.)

Passo 5

Encontrar os pontos críticos.
Por definição, pontos críticos são pontos do domínio onde f'(x)=0 ou onde f' não está definida.
  • Primeiro verificamos onde f' não está definida: o denominador (x^{2}+1)^{2} nunca é zero (já vimos que x^{2}+1>0 para todo x), então f' está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Agora resolvemos f'(x)=0:
\dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=0.
Conclusão: o único ponto crítico é x=0.

Passo 6

Análise do sinal de f'(x) e esquema na reta real.
Para analisar o sinal de f'(x)=\dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}} note:
  • O denominador (x^{2}+1)^{2} é sempre estritamente positivo para todo x.
  • Assim o sinal de f'(x) é o mesmo do numerador 2x.
  • O numerador 2x é negativo quando x<0, igual a zero em x=0 e positivo quando x>0.
Esquema na reta real (texto):
(-\infty,\;0)\quad\underbrace{f'(x)<0}_{\text{negativo}}\qquad x=0\quad\underbrace{f'(0)=0}_{\text{zero}}\qquad (0,\;\infty)\quad\underbrace{f'(x)>0}_{\text{positivo}}.
Em forma de pequena “reta númerica” simbólica:
\ldots\;(-)\;|\;0\;|\;(+)\;\ldots
onde o (-) vale para x<0 e o (+) para x>0.

Passo 7

Intervalos de crescimento e decrescimento.
Pelo teste de sinal da derivada:
  • f é decrescente quando f'(x)<0, isto é em (- \infty,0).
  • f é crescente quando f'(x)>0, isto é em (0,\infty).

Passo 8

Classificação do ponto crítico x=0 pelo teste da primeira derivada.
O teste da primeira derivada diz: se f' muda de sinal de negativo para positivo ao passar por um ponto crítico c, então f tem um mínimo local em c; se muda de positivo para negativo, máximo local; se não muda (mantém mesmo sinal), ponto de inflexão ou nenhum extremo local.
Aqui, de acordo com o esquema:
  • para x<0, f'(x)<0 (decrescente);
  • para x>0, f'(x)>0 (crescente).
Logo f' muda de negativo para positivo em x=0, portanto x=0 é um ponto de mínimo local.
Além disso, avaliando f(0):
f(0)=\dfrac{0^{2}}{0^{2}+1}=0.
Observação adicional (útil na prova): para todo x tem-se 0\le x^{2}<x^{2}+1, portanto 0\le \dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}<1. Assim f(0)=0 é também o mínimo global da função e a imagem de f é [0,1). A função não atinge 1 (limite quando |x|\to\infty é 1, mas nunca chega).

Resposta

Domínio: (-\infty,\infty)
Derivada: f'(x)=\dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}
Pontos críticos: x=0
Sinal de f'(x) (esquema): f'(x)<0 em (-\infty,0); f'(0)=0; f'(x)>0 em (0,\infty)
Intervalos crescente/decrescente: f é decrescente em (-\infty,0) e crescente em (0,\infty)
Classificação pelo teste da 1ª derivada: x=0 é mínimo (local e também mínimo global), com f(0)=0

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