Para cada funçāo abaixo, determine:
  • a derivada f^{\prime}(x)

Passo 1

O enunciado pede que, para cada função dada, se determine a derivada f'(x).
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma função foi enviada.
Conclusão imediata: com as funções não fornecidas não é possível calcular as derivadas pedidas. Neste passo apenas foquei no que o problema pede e no que foi dado.

Passo 2

Mesmo não tendo as funções concretas, vou te ensinar do zero como calcular derivadas passo a passo — do jeitinho que funciona na prova. Começo pela definição básica da derivada, que é a origem de tudo:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
O que isso significa na prática: a derivada mede a taxa de variação instantânea de f em relação a x. Na prova quase nunca pedem para usar esse limite direto (só em exercícios teóricos). Para calcular rápido usamos regras que derivam dessa definição.

Passo 3

Regra do poder (power rule) — é uma das mais usadas:
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1},
onde n é um número real (na maioria das provas n é inteiro).
Exemplo simples e passo a passo: seja f(x)=x^{3}. Aplicando a regra,
f'(x)=3x^{2}.
Interpretando: basta multiplicar por n e reduzir o expoente em uma unidade.

Passo 4

Regras lineares — constantes e soma:
\frac{d}{dx}c=0,\qquad \frac{d}{dx}\big(c\,g(x)\big)=c\,g'(x),
\frac{d}{dx}\big(f(x)+g(x)\big)=f'(x)+g'(x).
Exemplo prático: f(x)=3x^{2}+5x. Calculo:
\frac{d}{dx}(3x^{2})=3\cdot 2x=6x,\qquad \frac{d}{dx}(5x)=5,
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f'(x)=6x+5.
Dica de prova: se a função é soma de termos, derive termo a termo; se há um fator constante, puxe-o para fora.

Passo 5

Regra do produto — para quando a função é produto de duas funções u(x) e v(x):
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Exemplo passo a passo: f(x)=x^{2}\sin x. Identifique u(x)=x^{2} e v(x)=\sin x.
u'(x)=2x,\qquad v'(x)=\cos x.
Aplicando a regra do produto:
f'(x)=2x\sin x + x^{2}\cos x.
Dica: anota separadamente u,u',v,v' antes de aplicar a fórmula — evita erro na corrida da prova.

Passo 6

Regra do quociente — para f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq 0:
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Exemplo: f(x)=\dfrac{x^{2}}{\sin x}. Coloque u=x^{2}, v=\sin x. Então
u'=2x,\qquad v'=\cos x,
e
f'(x)=\frac{2x\sin x - x^{2}\cos x}{\sin^{2}x}.
Dica: memorize a forma “baixo vezes derivada do cima menos cima vezes derivada do baixo, sobre baixo ao quadrado”.

Passo 7

Regra da cadeia — essencial quando há uma função composta f(x)=F(g(x)):
\frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))\cdot g'(x).
Explicando: deriva-se a função externa F avaliando-a em g(x) e multiplica-se pela derivada da função interna g.
Exemplo: f(x)=\sin(x^{2}). Identifique F(u)=\sin u e g(x)=x^{2}.
F'(u)=\cos u,\qquad g'(x)=2x.
Aplicando cadeia:
f'(x)=\cos(x^{2})\cdot 2x = 2x\cos(x^{2}).
Dica de prova: sempre identifique claramente externa e interna; escreva u=g(x) se isso te ajuda.

Passo 8

Derivadas de funções elementares que aparecem sempre na prova (decore e pratique):
  • Exponenciais:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},\qquad \frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a.
  • Logaritmos:
\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}\quad (x>0).
  • Trigonometria:
\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x,\qquad \frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x.
Exemplo de combinação: f(x)=\ln(1+x^{2}). Use cadeia com F(u)=\ln u e u=1+x^{2}:
f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^{2}}.

Passo 9

Estratégia prática para a prova (passo a passo, tipo check-list):
  1. Identifique a forma da função: soma, produto, quociente, composição, potência, exponencial, log etc.
  2. Separe em partes: escreva u(x),v(x) quando for produto/quociente, escreva u=g(x) quando for cadeia.
  3. Calcule as derivadas das partes simples (anote u',v').
  4. Aplique a regra correspondente (produto, quociente, cadeia).
  5. Simplifique o resultado algebricamente — muitas vezes a prova exige a forma simplificada.
  6. Se tiver tempo, verifique limites laterais ou valores em pontos críticos se pedirem mais.

Passo 10

Exemplos extras rápidos para praticar mentalmente:
  • Se f(x)=5 então f'(x)=0.
  • Se f(x)=3x^{4}-2x+7 então
f'(x)=12x^{3}-2.
  • Se f(x)=e^{3x}: usando cadeia,
f'(x)=e^{3x}\cdot 3 = 3e^{3x}.

Passo 11

Resumo final do que ocorreu: as regras e exemplos acima te deixam pronto para calcular derivadas de qualquer função que apareça na sua prova. No entanto, para responder exatamente ao pedido original — "Para cada função abaixo, determine a derivada f'(x)" — falta a informação essencial: as próprias funções. Sem elas não há como fornecer as respostas numéricas/algebraicas pedidas.

Resposta

Não é possível calcular as derivadas porque o enunciado não forneceu as funções a serem derivadas.

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