o sinal de f^{\prime}(x) (com esquema na reta real)
os intervalos onde f é crescente e decrescente
a classificaçāo dos pontos críticos usando o teste da 1^{\text {a }} derivada
(d) f(x)=\frac{\ln x}{x}
Passo 1
O enunciado pede, para a função f(x)=\dfrac{\ln x}{x}, que eu determine, passo a passo:
o domínio de f;
a derivada f^{\prime}(x);
os pontos críticos;
o sinal de f^{\prime}(x) (com um esquema na reta real);
os intervalos onde f é crescente e decrescente;
a classificação dos pontos críticos usando o teste da 1^{\text{a}} derivada.
As informações que temos (diretamente do enunciado) são somente a expressão da função
f(x)=\frac{\ln x}{x}.
Passo 2
Determinar o domínio de f.
Explicação dos conceitos usados:
A função \ln x está definida apenas para x>0 (não existe \ln 0 nem \ln de número negativo).
No denominador temos x; é proibido dividir por 0. Mas a condição x>0 já exclui 0.
Conclusão do domínio:
\text{Dom}(f)=(0,\infty).
Passo 3
Calcular a derivada f^{\prime}(x).
Vou explicar duas formas (você pode usar a que achar mais confortável):
Forma 1 — regra do quociente:
Se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}.
Aqui u(x)=\ln x e v(x)=x. Temos u'(x)=\dfrac{1}{x} e v'(x)=1. Aplicando:
f'(x)=\frac{\dfrac{1}{x}\cdot x - \ln x\cdot 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}.
Forma 2 — produto (mesmo resultado):
Reescreva f(x)=\ln x\cdot x^{-1}. Regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.
Com u=\ln x e v=x^{-1}: u'=\dfrac{1}{x}, v'=-x^{-2}. Então
Regra prática: onde f'>0 a função é crescente; onde f'<0 é decrescente.
Usando o sinal encontrado:
f é crescente em (0,e).
f é decrescente em (e,\infty).
Passo 7
Classificação do ponto crítico usando o teste da 1ª derivada.
O teste da 1ª derivada diz: se f' muda de positivo para negativo ao passar por um ponto crítico, então ali há um máximo local; se muda de negativo para positivo, mínimo local; se não muda, ponto de inflexão ou indeterminação.
No nosso caso:
Para x<e (mas ainda no domínio) temos f'(x)>0.
Para x>e temos f'(x)<0.
Logo f' muda de positivo para negativo ao atravessar x=e. Portanto x=e é um ponto de máximo local.
Podemos calcular o valor da função nesse ponto:
f(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{e}.
Como f sobe até e e depois desce para sempre, esse máximo é, na verdade, o máximo absoluto (global) em (0,\infty).
Resposta
Domínio: (0,\infty)
Derivada: f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}
Pontos críticos: x=e
Sinal de f'(x): f'(x)>0 para 0<x<e; f'(e)=0; f'(x)<0 para x>e
Intervalos de crescimento/decrescimento: f crescente em (0,e); f decrescente em (e,\infty)
Classificação do(s) ponto(s) crítico(s): x=e é ponto de máximo (local e também absoluto) e f(e)=\dfrac{1}{e}