Para cada funçāo abaixo, determine:
  • o domínio
  • a derivada f^{\prime}(x)
  • os pontos críticos
  • o sinal de f^{\prime}(x) (com esquema na reta real)
  • os intervalos onde f é crescente e decrescente
  • a classificaçāo dos pontos críticos usando o teste da 1^{\text {a }} derivada
    (d) f(x)=\frac{\ln x}{x}

Passo 1

O enunciado pede, para a função f(x)=\dfrac{\ln x}{x}, que eu determine, passo a passo:
  • o domínio de f;
  • a derivada f^{\prime}(x);
  • os pontos críticos;
  • o sinal de f^{\prime}(x) (com um esquema na reta real);
  • os intervalos onde f é crescente e decrescente;
  • a classificação dos pontos críticos usando o teste da 1^{\text{a}} derivada.
As informações que temos (diretamente do enunciado) são somente a expressão da função
f(x)=\frac{\ln x}{x}.

Passo 2

Determinar o domínio de f.
Explicação dos conceitos usados:
  • A função \ln x está definida apenas para x>0 (não existe \ln 0 nem \ln de número negativo).
  • No denominador temos x; é proibido dividir por 0. Mas a condição x>0 já exclui 0.
Conclusão do domínio:
\text{Dom}(f)=(0,\infty).

Passo 3

Calcular a derivada f^{\prime}(x).
Vou explicar duas formas (você pode usar a que achar mais confortável):
Forma 1 — regra do quociente:
Se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}.
Aqui u(x)=\ln x e v(x)=x. Temos u'(x)=\dfrac{1}{x} e v'(x)=1. Aplicando:
f'(x)=\frac{\dfrac{1}{x}\cdot x - \ln x\cdot 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}.
Forma 2 — produto (mesmo resultado):
Reescreva f(x)=\ln x\cdot x^{-1}. Regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.
Com u=\ln x e v=x^{-1}: u'=\dfrac{1}{x}, v'=-x^{-2}. Então
f'(x)=\frac{1}{x}\cdot x^{-1} + \ln x\cdot(-x^{-2}) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{\ln x}{x^{2}} = \frac{1-\ln x}{x^{2}}.
Portanto, a derivada é
f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}},\qquad \text{para }x\in(0,\infty).

Passo 4

Determinar os pontos críticos.
Definição prática: pontos críticos são pontos do domínio onde f'(x)=0 ou onde f' é indefinida.
  • f'(x) está definida para todo x\in(0,\infty) porque x^{2}>0 aí — logo não há pontos onde f' é indefinida dentro do domínio.
  • Resolver f'(x)=0:
\frac{1-\ln x}{x^{2}}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1-\ln x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \ln x=1.
Tomando exponencial:
x=e.
Assim, o único ponto crítico na região do domínio é x=e.

Passo 5

Estudar o sinal de f'(x) em (0,\infty) e montar o esquema na reta real.
Observe a forma de f'(x):
f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}.
  • O fator x^{2} é sempre positivo para x\in(0,\infty), então o sinal de f'(x) é o mesmo do numerador 1-\ln x.
  • Estude o sinal de 1-\ln x:
    • Se \ln x<1 então 1-\ln x>0.
    • Se \ln x>1 então 1-\ln x<0.
    • \ln x=1 acontece em x=e.
Recordando a função logaritmo: \ln x é crescente e \ln x<1 quando x<e; \ln x>1 quando x>e.
Portanto:
  • Para 0<x<e: 1-\ln x>0 \Rightarrow f'(x)>0.
  • Para x=e: f'(e)=0.
  • Para x>e: 1-\ln x<0 \Rightarrow f'(x)<0.
Esquema na reta real (marcando apenas a parte do domínio (0,\infty); e em destaque):
(0\,,\,e)\quad\underbrace{+\,+\,+}_{f'(x)>0}\quad e\quad\underbrace{-\,-\,-}_{f'(x)<0}\quad (e,\infty)

Passo 6

Determinar intervalos de crescente e decrescente.
Regra prática: onde f'>0 a função é crescente; onde f'<0 é decrescente.
Usando o sinal encontrado:
  • f é crescente em (0,e).
  • f é decrescente em (e,\infty).

Passo 7

Classificação do ponto crítico usando o teste da 1ª derivada.
O teste da 1ª derivada diz: se f' muda de positivo para negativo ao passar por um ponto crítico, então ali há um máximo local; se muda de negativo para positivo, mínimo local; se não muda, ponto de inflexão ou indeterminação.
No nosso caso:
  • Para x<e (mas ainda no domínio) temos f'(x)>0.
  • Para x>e temos f'(x)<0.
    Logo f' muda de positivo para negativo ao atravessar x=e. Portanto x=e é um ponto de máximo local.
Podemos calcular o valor da função nesse ponto:
f(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{e}.
Como f sobe até e e depois desce para sempre, esse máximo é, na verdade, o máximo absoluto (global) em (0,\infty).

Resposta

Domínio: (0,\infty)
Derivada: f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}
Pontos críticos: x=e
Sinal de f'(x): f'(x)>0 para 0<x<e; f'(e)=0; f'(x)<0 para x>e
Intervalos de crescimento/decrescimento: f crescente em (0,e); f decrescente em (e,\infty)
Classificação do(s) ponto(s) crítico(s): x=e é ponto de máximo (local e também absoluto) e f(e)=\dfrac{1}{e}

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