Para cada função abaixo determine a função inversa (não esqueça indicar o domínio dela)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede
. O conteúdo aqui é inversão de função definida por partes. Para achar a inversa, precisamos (1) identificar a imagem (range) de cada ramo, (2) verificar injetividade em cada ramo, e (3) resolver
para
em cada caso.
Passo 2
Vamos estudar o ramo
em
. Esse ramo é injetivo (é a função identidade) e sua imagem é
Passo 3
No intervalo
, temos
. Essa função é injetiva em
(pois
é estritamente crescente para
) e sua imagem é
Passo 4
Como as imagens
e
são disjuntas e cobrem
,
é bijetora de
em
. Agora, para cada
resolvemos
:
- Se
, então vem do ramo . Logo
- Se
, vem do ramo com . Resolvendo,
Passo 5
Juntando os dois casos, obtemos a inversa
e o domínio de
é a imagem de
, que é todo
.