Para cada função abaixo determine a função inversa (não esqueça indicar o domínio dela)
y= \begin{cases}x, & x \leqslant 0 \\\ x^{2}, & x>0\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} x, & x \le 0,\\\ x^{2}, & x>0, \end{cases}
e pede f^{-1}. O conteúdo aqui é inversão de função definida por partes. Para achar a inversa, precisamos (1) identificar a imagem (range) de cada ramo, (2) verificar injetividade em cada ramo, e (3) resolver y=f(x) para x em cada caso.

Passo 2

Vamos estudar o ramo f(x)=x em x\le 0. Esse ramo é injetivo (é a função identidade) e sua imagem é
f((-\infty,0]) = (-\infty,0].

Passo 3

No intervalo x>0, temos f(x)=x^{2}. Essa função é injetiva em (0,\infty) (pois x^2 é estritamente crescente para x>0) e sua imagem é
f((0,\infty)) = (0,\infty).

Passo 4

Como as imagens (-\infty,0] e (0,\infty) são disjuntas e cobrem \mathbb{R}, f é bijetora de \mathbb{R} em \mathbb{R}. Agora, para cada y resolvemos y=f(x):
  1. Se y\le 0, então vem do ramo y=x. Logo
x = y.
  1. Se y>0, vem do ramo y=x^{2} com x>0. Resolvendo,
x = \sqrt{y}.

Passo 5

Juntando os dois casos, obtemos a inversa
f^{-1}(y)= \begin{cases} y, & y \le 0,\\\ \sqrt{y}, & y>0, \end{cases}
e o domínio de f^{-1} é a imagem de f, que é todo \mathbb{R}.

Resposta

f^{-1}(y)= \begin{cases} y, & y \le 0,\\\ \sqrt{y}, & y>0, \end{cases} \quad \text{com domínio }(-\infty,\infty).í

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