Calcule:
\operatorname{tg}\left(2 \operatorname{arcsen} \frac{2}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \tan\bigl(2\arcsin\frac{2}{3}\bigr). O conteúdo envolve relações trigonométricas de ângulo duplo e a conexão entre seno, cosseno e tangente para um mesmo ângulo.

Passo 2

Seja \theta = \arcsin\frac{2}{3}. Por definição,
\sin\theta = \frac{2}{3},
e como \theta\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr], temos \cos\theta\ge0. Logo,
\cos\theta = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{1-\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^2} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}.

Passo 3

Agora calculamos
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}}.

Passo 4

Usamos a identidade de ângulo duplo para a tangente:
\tan(2\theta) = \frac{2\,\tan\theta}{1-\tan^2\theta} = \frac{2\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}}{1-\bigl(\frac{2}{\sqrt{5}}\bigr)^2} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{1-\frac{4}{5}}.

Passo 5

Como 1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}, ficamos com
\tan(2\theta) = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{\frac15} = \frac{4}{\sqrt{5}}\cdot5 = \frac{20}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{5}.

Resposta

\tan\Bigl(2\arcsin\frac{2}{3}\Bigr) = 4\sqrt{5}.

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