Para cada função abaixo, determine:
a) Números críticos
b)Intervalos de crescimento e decrescimento
c) Extremos locais (máximos e mínimos)
Funções:
a) Números críticos
b)Intervalos de crescimento e decrescimento
c) Extremos locais (máximos e mínimos)
Funções:
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
a) determinar os números críticos;
b) determinar os intervalos em que cresce e decresce;
c) identificar extremos locais (máximos e mínimos) e seus valores.
a) determinar os números críticos;
b) determinar os intervalos em que
c) identificar extremos locais (máximos e mínimos) e seus valores.
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de
é
. A função está definida em todo
porque raiz cúbica aceita números negativos. Não há outras informações externas.
Passo 2
Vamos calcular a derivada
. Vou explicar a regra que uso: se
, então
para
(observe que essa expressão não está definida em
). Pela regra da cadeia, se
com
, então
Calculemos
:
Agora aplique a fórmula:
O fator
e
se cancelam, portanto
Passo 3
Vamos simplificar e fatorar para encontrar onde
ou onde
não existe (esses são os candidatos a números críticos).
Fatoremos as expressões:
Substituindo na derivada:
Observação útil:
é positivo para todo
onde está definido (pois é
, e a potência
dá um número não negativo e o recíproco é positivo), mas essa expressão deixa de estar definida quando
, ou seja, em
e
.
Condições para número crítico:
- pontos onde
: quando o numerador → ou ; - pontos onde
é indefinida: quando → ou .
Portanto os números críticos (valores de
) são
Passo 4
Agora determinamos os sinais de
para achar intervalos de crescimento/decrescimento. Observação importante que facilita: o fator
é sempre positivo onde definido; então o sinal de
é o mesmo do sinal do polinômio
. Assim não precisamos nos preocupar com o sinal do denominador, apenas com o numerador.
Como
, o sinal de
é o mesmo do sinal de
. Então fazemos um quadro de sinais usando os pontos críticos em ordem:
. Porém como o sinal depende só de
e
, a mudança de sinal ocorre em
e
; o ponto
não muda o sinal (mas é ponto onde
não existe).
Teste rápido dos intervalos:
- para
(por exemplo ): → ; - para
(por exemplo ): → ; - para
(por exemplo ): → .
Portanto
é crescente onde
e decrescente onde
. Devemos ter cuidado com os pontos onde
não existe: em
e
a derivada não existe, mas a monotonicidade pode ser inferida pelos sinais dos lados.
Conclusão sobre os intervalos (escrito de forma prática para usar em prova):
-
é crescente em e em . Se quiser separar por causa da não-diferenciabilidade em , pode escrever crescente em e . -
é decrescente em . - Em
a derivada não existe, mas o sinal de é positivo à esquerda e à direita, então não há mudança de monotonicidade ali.
Passo 5
Classificação de extremos locais usando o teste do sinal da derivada:
- Em
: à esquerda de temos e à direita de temos . Troca de sinal implica que é um ponto de máximo local. Valor:
- Em
: à esquerda de (intervalo ) temos ; à direita de temos . Troca de sinal implica que é um ponto de mínimo local. Valor:
- Em
: a derivada não existe em , mas o sinal de é positivo tanto à esquerda quanto à direita, portanto não há máximo nem mínimo local em . O valor é
mas é um ponto de não-diferenciabilidade (cenário tipo “canto” ou “ponto cusp-like” para esta função composta), não um extremo.
Passo 6
Resumo rápido de como proceder em questões semelhantes (dica para prova):
- Derive aplicando a cadeia: derivada da raiz cúbica é
e multiplica-se por . - Fatore o numerador e o radicando quando possível para identificar raízes fáceis.
- Lembre-se: o fator com potência
é sempre positivo quando definido, por isso o sinal da derivada costuma ser dado só pelo numerador. - Liste os pontos onde a derivada é zero OU não existe: são os números críticos.
- Use um quadro de sinais (teste de pontos em cada intervalo) para decidir monotonicidade e mudança de sinal para classificar extremos.
Resposta
a) Números críticos:
.
b) Intervalos de crescimento: (ou, separando a não-diferenciabilidade,
e
) e
.
Intervalos de decrescimento: .
c) Extremos locais: máximo local em com valor
.
mínimo local em com valor
.
b) Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
c) Extremos locais: máximo local em
mínimo local em