Para cada função abaixo, determine:
a) Números críticos
b)Intervalos de crescimento e decrescimento
c) Extremos locais (máximos e mínimos)
Funções:
h(x)=3 \sqrt[3]{x^{3}-6 x^{2}+9 x}

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função \;h(x)=3\sqrt[3]{x^{3}-6x^{2}+9x}\;:
a) determinar os números críticos;
b) determinar os intervalos em que h cresce e decresce;
c) identificar extremos locais (máximos e mínimos) e seus valores.
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de h(x) é \;3\sqrt[3]{x^{3}-6x^{2}+9x}\;. A função está definida em todo \mathbb{R} porque raiz cúbica aceita números negativos. Não há outras informações externas.

Passo 2

Vamos calcular a derivada h'(x). Vou explicar a regra que uso: se g(u)=u^{1/3}=\sqrt[3]{u}, então
g'(u)=\frac{1}{3}u^{-2/3},
para u\neq0 (observe que essa expressão não está definida em u=0). Pela regra da cadeia, se h(x)=3\,g\big(u(x)\big) com u(x)=x^{3}-6x^{2}+9x, então
h'(x)=3\cdot g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Calculemos u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}-6x^{2}+9x\big)=3x^{2}-12x+9.
Agora aplique a fórmula:
h'(x)=3\cdot\frac{1}{3}\big(x^{3}-6x^{2}+9x\big)^{-2/3}\cdot(3x^{2}-12x+9).
O fator 3 e \tfrac{1}{3} se cancelam, portanto
\boxed{\,h'(x)=(3x^{2}-12x+9)\big(x^{3}-6x^{2}+9x\big)^{-2/3}\,}.

Passo 3

Vamos simplificar e fatorar para encontrar onde h'(x)=0 ou onde h'(x) não existe (esses são os candidatos a números críticos).
Fatoremos as expressões:
3x^{2}-12x+9=3(x^{2}-4x+3)=3(x-1)(x-3),
x^{3}-6x^{2}+9x=x(x^{2}-6x+9)=x(x-3)^{2}.
Substituindo na derivada:
h'(x)=3(x-1)(x-3)\big(x(x-3)^{2}\big)^{-2/3}.
Observação útil: \big(x(x-3)^{2}\big)^{-2/3} é positivo para todo x onde está definido (pois é 1/(\text{algo})^{2/3}, e a potência 2/3 dá um número não negativo e o recíproco é positivo), mas essa expressão deixa de estar definida quando x(x-3)^{2}=0, ou seja, em x=0 e x=3.
Condições para número crítico:
  • pontos onde h'(x)=0: quando o numerador 3(x-1)(x-3)=0 x=1 ou x=3;
  • pontos onde h'(x) é indefinida: quando x(x-3)^{2}=0 x=0 ou x=3.
Portanto os números críticos (valores de x) são
\boxed{x=0,\;x=1,\;x=3.}

Passo 4

Agora determinamos os sinais de h'(x) para achar intervalos de crescimento/decrescimento. Observação importante que facilita: o fator \big(x^{3}-6x^{2}+9x\big)^{-2/3} é sempre positivo onde definido; então o sinal de h'(x) é o mesmo do sinal do polinômio 3x^{2}-12x+9. Assim não precisamos nos preocupar com o sinal do denominador, apenas com o numerador.
Como 3x^{2}-12x+9=3(x-1)(x-3), o sinal de h' é o mesmo do sinal de (x-1)(x-3). Então fazemos um quadro de sinais usando os pontos críticos em ordem: x=0,\;x=1,\;x=3. Porém como o sinal depende só de x=1 e x=3, a mudança de sinal ocorre em x=1 e x=3; o ponto x=0 não muda o sinal (mas é ponto onde h' não existe).
Teste rápido dos intervalos:
  • para x<1 (por exemplo x=0): (x-1)(x-3)>0 h'(x)>0;
  • para 1<x<3 (por exemplo x=2): (x-1)(x-3)<0 h'(x)<0;
  • para x>3 (por exemplo x=4): (x-1)(x-3)>0 h'(x)>0.
Portanto h é crescente onde h'>0 e decrescente onde h'<0. Devemos ter cuidado com os pontos onde h' não existe: em x=0 e x=3 a derivada não existe, mas a monotonicidade pode ser inferida pelos sinais dos lados.
Conclusão sobre os intervalos (escrito de forma prática para usar em prova):
  • h é crescente em (-\infty,1) e em (3,\infty). Se quiser separar por causa da não-diferenciabilidade em 0, pode escrever crescente em (-\infty,0) e (0,1).
  • h é decrescente em (1,3).
  • Em x=0 a derivada não existe, mas o sinal de h' é positivo à esquerda e à direita, então não há mudança de monotonicidade ali.

Passo 5

Classificação de extremos locais usando o teste do sinal da derivada:
  • Em x=1: à esquerda de 1 temos h'>0 e à direita de 1 temos h'<0. Troca de sinal +\to- implica que x=1 é um ponto de máximo local. Valor:
h(1)=3\sqrt[3]{1^{3}-6\cdot1^{2}+9\cdot1}=3\sqrt[3]{1-6+9}=3\sqrt[3]{4}.
  • Em x=3: à esquerda de 3 (intervalo (1,3)) temos h'<0; à direita de 3 temos h'>0. Troca de sinal -\to+ implica que x=3 é um ponto de mínimo local. Valor:
h(3)=3\sqrt[3]{3^{3}-6\cdot3^{2}+9\cdot3}=3\sqrt[3]{27-54+27}=3\sqrt[3]{0}=0.
  • Em x=0: a derivada não existe em 0, mas o sinal de h' é positivo tanto à esquerda quanto à direita, portanto não há máximo nem mínimo local em x=0. O valor é
h(0)=3\sqrt[3]{0}=0,
mas é um ponto de não-diferenciabilidade (cenário tipo “canto” ou “ponto cusp-like” para esta função composta), não um extremo.

Passo 6

Resumo rápido de como proceder em questões semelhantes (dica para prova):
  • Derive aplicando a cadeia: derivada da raiz cúbica é \tfrac{1}{3}u^{-2/3} e multiplica-se por u'(x).
  • Fatore o numerador e o radicando quando possível para identificar raízes fáceis.
  • Lembre-se: o fator com potência -2/3 é sempre positivo quando definido, por isso o sinal da derivada costuma ser dado só pelo numerador.
  • Liste os pontos onde a derivada é zero OU não existe: são os números críticos.
  • Use um quadro de sinais (teste de pontos em cada intervalo) para decidir monotonicidade e mudança de sinal para classificar extremos.

Resposta

a) Números críticos: x=0,\;x=1,\;x=3.
b) Intervalos de crescimento: (-\infty,1) (ou, separando a não-diferenciabilidade, (-\infty,0) e (0,1)) e (3,\infty).
Intervalos de decrescimento: (1,3).
c) Extremos locais: máximo local em x=1 com valor h(1)=3\sqrt[3]{4}.
mínimo local em x=3 com valor h(3)=0.

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