Para cada função abaixo, determine:
a) Números críticos
b)Intervalos de crescimento e decrescimento
c) Extremos locais (máximos e mínimos)
Funções:
a) Números críticos
b)Intervalos de crescimento e decrescimento
c) Extremos locais (máximos e mínimos)
Funções:
Passo 1
O enunciado pede, para a função
:
a) determinar os números críticos;
b) determinar os intervalos de crescimento e decrescimento;
c) identificar os extremos locais (máximos e mínimos).
a) determinar os números críticos;
b) determinar os intervalos de crescimento e decrescimento;
c) identificar os extremos locais (máximos e mínimos).
Informações dadas e observações imediatas:
está definida apenas quando a quantidade dentro da raiz é não negativa, portanto o domínio é
.
Os valores nos extremos do domínio são e
.
Vamos usar derivada, teste do sinal da derivada e teste da primeira derivada para encontrar os resultados pedidos.
Os valores nos extremos do domínio são
Vamos usar derivada, teste do sinal da derivada e teste da primeira derivada para encontrar os resultados pedidos.
Passo 2
O que é um número crítico e como vamos encontrá-lo (aula rápida e prática):
Um número é chamado de número crítico da função
se
pertence ao domínio de
e satisfaz uma das duas condições:
Um número
-
; ou -
não existe (está indefinida).
Plano prático:
- Calcular
usando regras de derivação. - Resolver
dentro do domínio. - Ver onde
é indefinida, mas com ainda no domínio.
Essesformam os números críticos. Em seguida, usamos o sinal de para achar intervalos de crescimento/decrescimento e aplicar o teste da primeira derivada para extremos locais.
Passo 3
Derivada passo a passo (explicando a regra usada):
Escrevemos . Usamos a regra da cadeia: se
então
. Aqui
e
.
Escrevemos
Aplicando:
Simplificando o
e o
:
Observação importante: a expressão
no denominador só faz sentido quando
(ali é positiva); em
o denominador é zero e por isso a expressão simplificada indica que a derivada está indefinida nesses pontos — vamos tratar isso com cuidado porque
ainda estão no domínio de
.
Passo 4
Encontrando os números críticos (aplicando a definição):
- Resolver
:
Como
pertence ao domínio
, é um número crítico.
- Procurar onde
é indefinida dentro do domínio: a expressão de tem denominador , que é zero em . Esses pontos pertencem ao domínio, portanto e também são números críticos.
Conclusão: os números críticos são
.
Passo 5
Determinar intervalos de crescimento e decrescimento (teste do sinal da derivada):
Temos . Para
o denominador
é positivo, então o sinal de
é o sinal de
.
Temos
- Se
(ou seja ) então é negativo, é positivo, logo . Assim é crescente em . - Se
(ou seja ) então é positivo, é negativo, logo . Assim é decrescente em .
Comentário sobre inclusão de extremos: como o domínio é fechado, frequentemente dizemos que
é crescente em
e decrescente em
no sentido de monotonicidade no domínio (os endpoints são pontos de fronteira do domínio). Mas a análise pelo sinal da derivada dá claramente os intervalos abertos
e
.
Passo 6
Encontrando extremos locais com o teste da primeira derivada (interpretação):
O teste da primeira derivada diz: se em um número crítico a derivada passa de positiva para negativa quando cruzamos
, então
tem um máximo local em
; se passa de negativa para positiva, tem um mínimo local em
.
O teste da primeira derivada diz: se em um número crítico
Aplicando aos nossos críticos:
- Em
: verificamos que para temos e para temos . Ou seja, a derivada muda de positiva para negativa em . Portanto é um ponto de máximo local. O valor é
É, na verdade, o máximo global no domínio porque
é o maior valor que a raiz pode assumir aqui.
-
Em
: olhando para a direita (única direção disponível dentro do domínio), imediatamente à direita de a derivada é positiva (porque estamos em ), então a função sobe ao sair de ; isso mostra que é um mínimo local (e também global, pois em todo o domínio). -
Em
: olhando para a esquerda (única direção disponível dentro do domínio), imediatamente à esquerda de a derivada é negativa (porque estamos em ), então a função decresce até ; assim é também um mínimo local (e global).
Resumo dos extremos: máximo em
com valor
; mínimos em
e
com valor
. Uma interpretação geométrica curta (ajuda a lembrar):
é a semicircunferência superior de raio
centrada na origem, então o ponto mais alto é
e as pontas em
são os mínimos.
Resposta
(a) Números críticos:
\n
(b) Crescimento: . Decrescimento:
.\n
(c) Extremos locais: máximo em com
; mínimos em
e
com
.
(b) Crescimento:
(c) Extremos locais: máximo em