Para cada função abaixo, determine:
a) Números críticos
b)Intervalos de crescimento e decrescimento
c) Extremos locais (máximos e mínimos)
Funções:
f(x)=\sqrt{4-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede, para a função \,f(x)=\sqrt{4-x^{2}}\,:
a) determinar os números críticos;
b) determinar os intervalos de crescimento e decrescimento;
c) identificar os extremos locais (máximos e mínimos).
Informações dadas e observações imediatas:
\,f(x)=\sqrt{4-x^{2}}\, está definida apenas quando a quantidade dentro da raiz é não negativa, portanto o domínio é \,[-2,2]\,.
Os valores nos extremos do domínio são \,f(-2)=0\, e \,f(2)=0\,.
Vamos usar derivada, teste do sinal da derivada e teste da primeira derivada para encontrar os resultados pedidos.

Passo 2

O que é um número crítico e como vamos encontrá-lo (aula rápida e prática):
Um número c é chamado de número crítico da função f se c pertence ao domínio de f e satisfaz uma das duas condições:
  1. \,f'\text{(c)}=0\,; ou
  2. \,f'\text{(c)} não existe (está indefinida).
Plano prático:
  1. Calcular \,f'(x) usando regras de derivação.
  2. Resolver \,f'(x)=0 dentro do domínio.
  3. Ver onde \,f'(x) é indefinida, mas com x ainda no domínio.
    Esses x formam os números críticos. Em seguida, usamos o sinal de \,f'(x) para achar intervalos de crescimento/decrescimento e aplicar o teste da primeira derivada para extremos locais.

Passo 3

Derivada passo a passo (explicando a regra usada):
Escrevemos \,f(x)=(4-x^{2})^{1/2}\,. Usamos a regra da cadeia: se \,g(x)=(u(x))^{1/2}\, então \,g'(x)=\tfrac{1}{2}(u(x))^{-1/2}\cdot u'(x)\,. Aqui u(x)=4-x^{2} e u'(x)=-2x.
Aplicando:
f'(x)=\frac{1}{2}(4-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x).
Simplificando o 2 e o -2:
f'(x)=\frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}}.
Observação importante: a expressão \sqrt{4-x^{2}} no denominador só faz sentido quando x\in(-2,2) (ali é positiva); em x=\pm2 o denominador é zero e por isso a expressão simplificada indica que a derivada está indefinida nesses pontos — vamos tratar isso com cuidado porque \pm2 ainda estão no domínio de f.

Passo 4

Encontrando os números críticos (aplicando a definição):
  1. Resolver \,f'(x)=0\,:
\frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}}=0 \quad\Longrightarrow\quad -x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.
Como x=0 pertence ao domínio [-2,2], é um número crítico.
  1. Procurar onde \,f'(x) é indefinida dentro do domínio: a expressão de \,f'(x) tem denominador \sqrt{4-x^{2}}, que é zero em \,x=\pm2. Esses pontos pertencem ao domínio, portanto \,x=-2\, e \,x=2\, também são números críticos.
Conclusão: os números críticos são \,x=-2,\,0,\,2\,.

Passo 5

Determinar intervalos de crescimento e decrescimento (teste do sinal da derivada):
Temos \,f'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}}\,. Para x\in(-2,2) o denominador \sqrt{4-x^{2}} é positivo, então o sinal de \,f'(x) é o sinal de -x.
  • Se x<0 (ou seja x\in(-2,0)) então x é negativo, -x é positivo, logo \,f'(x)>0\,. Assim f é crescente em (-2,0).
  • Se x>0 (ou seja x\in(0,2)) então x é positivo, -x é negativo, logo \,f'(x)<0\,. Assim f é decrescente em (0,2).
Comentário sobre inclusão de extremos: como o domínio é fechado, frequentemente dizemos que f é crescente em [-2,0] e decrescente em [0,2] no sentido de monotonicidade no domínio (os endpoints são pontos de fronteira do domínio). Mas a análise pelo sinal da derivada dá claramente os intervalos abertos (-2,0) e (0,2).

Passo 6

Encontrando extremos locais com o teste da primeira derivada (interpretação):
O teste da primeira derivada diz: se em um número crítico c a derivada passa de positiva para negativa quando cruzamos c, então f tem um máximo local em c; se passa de negativa para positiva, tem um mínimo local em c.
Aplicando aos nossos críticos:
  • Em x=0: verificamos que para x<0 temos \,f'(x)>0\, e para x>0 temos \,f'(x)<0\,. Ou seja, a derivada muda de positiva para negativa em 0. Portanto x=0 é um ponto de máximo local. O valor é
f(0)=\sqrt{4-0^{2}}=\sqrt{4}=2.
É, na verdade, o máximo global no domínio porque 2 é o maior valor que a raiz pode assumir aqui.
  • Em x=-2: olhando para a direita (única direção disponível dentro do domínio), imediatamente à direita de -2 a derivada é positiva (porque estamos em (-2,0)), então a função sobe ao sair de -2; isso mostra que f(-2)=0 é um mínimo local (e também global, pois f\ge 0 em todo o domínio).
  • Em x=2: olhando para a esquerda (única direção disponível dentro do domínio), imediatamente à esquerda de 2 a derivada é negativa (porque estamos em (0,2)), então a função decresce até 2; assim f(2)=0 é também um mínimo local (e global).
Resumo dos extremos: máximo em x=0 com valor 2; mínimos em x=-2 e x=2 com valor 0. Uma interpretação geométrica curta (ajuda a lembrar): \,f(x) é a semicircunferência superior de raio 2 centrada na origem, então o ponto mais alto é (0,2) e as pontas em (\pm2,0) são os mínimos.

Resposta

(a) Números críticos: \,-2,\,0,\,2\n
(b) Crescimento: (-2,0). Decrescimento: (0,2).\n
(c) Extremos locais: máximo em x=0 com f(0)=2; mínimos em x=-2 e x=2 com f(-2)=f(2)=0.

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