Cada função abaixo é suposta 2 \pi-periódica. Encontre a série de Fourier de f. f(x)=x^{2}-1, \quad-\pi<x<\pi,
Passo 1
O enunciado pede que se encontre a série de Fourier de uma função 2\pi-periódica dada por
f(x)=x^{2}-1,\qquad -\pi<x<\pi.
Informações fornecidas:
A função é definida originalmente em (-\pi,\pi) e estendida periodicamente com período 2\pi.
O que se quer é a série de Fourier que representa f(x) (a forma canônica: termo constante mais soma de senos e cossenos).
As perguntas implícitas são: calcular o termo constante e os coeficientes a_n e b_n da série de Fourier padrão para período 2\pi.
Passo 2
Recordando a fórmula padrão da série de Fourier para funções 2\pi-periódicas (aqui cada símbolo será explicado):
Aqui a_{0} é obtido pela mesma fórmula com n=0 (ou seja a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx).
Observação útil: se f for função par (isto é, f(-x)=f(x)), então todos os b_n=0 porque seno é função ímpar e o produto par·ímpar é ímpar, cuja integral simétrica é zero.
Passo 3
Verificar paridade de f. Como f(x)=x^{2}-1 satisfaz f(-x)=(-x)^{2}-1=x^{2}-1=f(x), a função é par. Portanto
b_{n}=0\quad\text{para todo }n\ge1.
Assim só precisamos calcular a_{0} e os a_{n} para n\ge1.
porque \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n. Portanto a segunda parcela é zero.
Passo 7
Calcular \displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\pi} x^{2}\cos(nx)\,dx por integração por partes (duas vezes).
Primeira integração por partes: escolha u=x^{2}, dv=\cos(nx)\,dx. Então du=2x\,dx e v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
O termo de fronteira vale \dfrac{\pi^{2}\sin(n\pi)}{n}-0=0 porque \sin(n\pi)=0. Logo
I_{n}=-\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Passo 8
Calcular J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx por integração por partes: escolha u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim
A série de Fourier na forma canônica é, portanto, o termo médio a_{0}/2 mais a soma dos cossenos com coeficientes a_{n}. A montagem final será dada na seção de resposta.