Cada função abaixo é suposta 2 \pi-periódica. Encontre a série de Fourier de f.
f(x)=x^{2}-1, \quad-\pi<x<\pi,

Passo 1

O enunciado pede que se encontre a série de Fourier de uma função 2\pi-periódica dada por
f(x)=x^{2}-1,\qquad -\pi<x<\pi.
Informações fornecidas:
  • A função é definida originalmente em (-\pi,\pi) e estendida periodicamente com período 2\pi.
  • O que se quer é a série de Fourier que representa f(x) (a forma canônica: termo constante mais soma de senos e cossenos).
    As perguntas implícitas são: calcular o termo constante e os coeficientes a_n e b_n da série de Fourier padrão para período 2\pi.

Passo 2

Recordando a fórmula padrão da série de Fourier para funções 2\pi-periódicas (aqui cada símbolo será explicado):
f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr).
Definições dos coeficientes (essas fórmulas vêm da projeção de f nas funções ortogonais \cos(nx) e \sin(nx)):
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\quad(n\ge 0),
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\quad(n\ge 1).
Aqui a_{0} é obtido pela mesma fórmula com n=0 (ou seja a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx).
Observação útil: se f for função par (isto é, f(-x)=f(x)), então todos os b_n=0 porque seno é função ímpar e o produto par·ímpar é ímpar, cuja integral simétrica é zero.

Passo 3

Verificar paridade de f. Como f(x)=x^{2}-1 satisfaz f(-x)=(-x)^{2}-1=x^{2}-1=f(x), a função é par. Portanto
b_{n}=0\quad\text{para todo }n\ge1.
Assim só precisamos calcular a_{0} e os a_{n} para n\ge1.

Passo 4

Cálculo de a_{0}. Usando a definição:
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(x^{2}-1\bigr)\,dx.
Como x^{2} e 1 são pares, pode-se calcular integrando de 0 a \pi e multiplicando por 2:
\int_{-\pi}^{\pi} x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{\pi} x^{2}\,dx = 2\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\pi}=2\cdot\frac{\pi^{3}}{3}=\frac{2\pi^{3}}{3},
\int_{-\pi}^{\pi} 1\,dx = 2\pi.
Portanto
\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(x^{2}-1\bigr)\,dx=\frac{2\pi^{3}}{3}-2\pi=2\pi\Bigl(\frac{\pi^{2}}{3}-1\Bigr).
Então
a_{0}=\frac{1}{\pi}\cdot 2\pi\Bigl(\frac{\pi^{2}}{3}-1\Bigr)=2\Bigl(\frac{\pi^{2}}{3}-1\Bigr)=\frac{2\pi^{2}}{3}-2.
O termo constante da série é \dfrac{a_{0}}{2}=\dfrac{\pi^{2}}{3}-1.

Passo 5

Cálculo de a_{n} para n\ge1. Pela definição,
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(x^{2}-1\bigr)\cos(nx)\,dx.
Como (x^{2}-1)\cos(nx) é função par, podemos reduzir a integral:
a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\bigl(x^{2}-1\bigr)\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\left(\int_{0}^{\pi} x^{2}\cos(nx)\,dx - \int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx\right).
Vamos calcular as duas integrais separadamente.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx=\left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\sin(n\pi)-\sin(0)}{n}=0,
porque \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n. Portanto a segunda parcela é zero.

Passo 7

Calcular \displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\pi} x^{2}\cos(nx)\,dx por integração por partes (duas vezes).
Primeira integração por partes: escolha u=x^{2}, dv=\cos(nx)\,dx. Então du=2x\,dx e v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
I_{n}=\left.\frac{x^{2}\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}-\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
O termo de fronteira vale \dfrac{\pi^{2}\sin(n\pi)}{n}-0=0 porque \sin(n\pi)=0. Logo
I_{n}=-\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.

Passo 8

Calcular J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx por integração por partes: escolha u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim
J_{n}=\left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
Já vimos que \displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx=0. Portanto
J_{n}=-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi(-1)^{n}}{n},
pois \cos(n\pi)=(-1)^{n}.

Passo 9

Substituindo J_{n} em I_{n}:
I_{n}=-\frac{2}{n}\cdot J_{n}=-\frac{2}{n}\left(-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}\right)=\frac{2\pi(-1)^{n}}{n^{2}}.
Voltando a a_{n}:
a_{n}=\frac{2}{\pi}\,I_{n}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{2\pi(-1)^{n}}{n^{2}}=\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}}.

Passo 10

Resumo dos coeficientes encontrados:
a_{0}=\frac{2\pi^{2}}{3}-2,\qquad a_{n}=\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}}\\ (n\ge1),\qquad b_{n}=0\\ (n\ge1).
A série de Fourier na forma canônica é, portanto, o termo médio a_{0}/2 mais a soma dos cossenos com coeficientes a_{n}. A montagem final será dada na seção de resposta.

Resposta

f(x)=x^{2}-1=\Bigl(\frac{\pi^{2}}{3}-1\Bigr)+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos(nx).

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