Para cada função g(t) dada abaixo, siga as etapas indicadas:
  • Determine a função derivada g^{\prime}(t).
  • Encontre a(s) raiz(es) de g^{\prime}(t), isto é, os valores de t para os quais g^{\prime}(t)=0.
  • Identifique o domínio de g^{\prime}(t).
    (b) g(t)=10 t e^{3-t^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para a função
g(t)=10\,t\,e^{3 - t^{2}}
que calculemos:
  1. A derivada g'(t).
  2. As raízes de g'(t), ou seja, os valores de t tais que g'(t)=0.
  3. O domínio de g'(t).

Passo 2

Para achar g'(t) usamos a regra do produto em u(t)=10t e v(t)=e^{3 - t^{2}}. Temos
u'(t)=10, \quad v'(t)=e^{3 - t^{2}}\cdot(-2t).
Logo,
g'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t) =10\,e^{3 - t^{2}} + 10t\bigl(-2t\,e^{3 - t^{2}}\bigr) =10\,e^{3 - t^{2}}\,(1-2t^{2}).

Passo 3

Para encontrar as raízes de g'(t) resolvemos
10\,e^{3 - t^{2}}\,(1-2t^{2})=0.
Como 10\neq0 e e^{3 - t^{2}}>0 para todo t, resta
1-2t^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad t^{2}=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad t=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Tanto 10t quanto e^{3 - t^{2}} são definidos para todo t\in\mathbb{R}. Portanto,
\text{Dom}\bigl(g'\bigr)=\mathbb{R}.

Resposta

g'(t)=10\,e^{3 - t^{2}}\,(1-2t^{2})
As raízes de g'(t)=0 são t=-\tfrac{1}{\sqrt{2}} e t=+\tfrac{1}{\sqrt{2}}.
O domínio de g'(t) é \mathbb{R}.

Exercícios relacionados