Para cada função g(t) dada abaixo, siga as etapas indicadas:
  • Determine a função derivada g^{\prime}(t).
  • Encontre a(s) raiz(es) de g^{\prime}(t), isto é, os valores de t para os quais g^{\prime}(t)=0.
  • Identifique o domínio de g^{\prime}(t).
    (a) g(t)=\sqrt[3]{t^{2}}(2 t-1).

Passo 1

Temos g(t)=\sqrt[3]{t^{2}}(2t-1)=t^{2/3}(2t-1). Queremos (1) a derivada g'(t), (2) as raízes de g'(t)=0 e (3) o domínio de g'(t). Vamos usar regra do produto, regra do poder e regra da cadeia.

Passo 2

Defina u(t)=t^{2/3} e v(t)=2t-1. Pela regra do produto,
g'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Pela regra do poder com cadeia,
u'(t)=\frac{2}{3}\,t^{2/3-1}=\frac{2}{3}\,t^{-1/3}, \qquad v'(t)=2.
Logo,
g'(t) =\frac{2}{3}\,t^{-1/3}(2t-1)+2\,t^{2/3}.
Para simplificar, observe que t^{2/3}=t\cdot t^{-1/3}. Então
g'(t) =t^{-1/3}\Bigl(\tfrac{2}{3}(2t-1)+2t\Bigr) =t^{-1/3}\Bigl(\tfrac{4t-2}{3}+\tfrac{6t}{3}\Bigr) =t^{-1/3}\,\frac{2(5t-1)}{3} =\frac{2(5t-1)}{3\,t^{1/3}}.

Passo 3

Para achar as raízes, resolvemos
g'(t)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2(5t-1)}{3\,t^{1/3}}=0.
A fração só se anula quando o numerador é zero, isto é,
5t-1=0 \quad\Longrightarrow\quad t=\tfrac{1}{5}.

Passo 4

O domínio de g'(t) exige que o denominador seja não-nulo. Como t^{1/3}=0 em t=0, temos
\text{Domínio de }g' =(-\infty,0)\cup(0,\infty).í

Resposta

g'(t)=\dfrac{2(5t-1)}{3\,t^{1/3}}
A única raiz de g'(t)=0 é t=\tfrac{1}{5}.
O domínio de g'(t) é (-\infty,0)\cup(0,\infty).

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