Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
.
Passo 1
A questão nos dá a função
e quer que a gente ache pontos críticos, máximos, mínimos, regiões de crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas (se existirem) e, por fim, esboce o gráfico. Para isso, vamos usar derivadas primeira e segunda, analisar sinais, limites em infinito e entender como tudo isso molda o gráfico.
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira usando a regra do produto. Se
e
, então
Passo 3
Para achar os pontos críticos, igualamos
. Como
sempre, basta
Passo 4
Agora analisamos o sinal de
. Como
, o sinal vem de
:
• Se , então
e
(função cresce).
• Se , então
e
(função decresce).
Logo, há um mínimo local em (decresce → cresce) e um máximo local em
(cresce → decresce). Os valores são
• Se
• Se
Logo, há um mínimo local em
Passo 5
Para a concavidade, calculamos a derivada segunda. Partindo de
, temos
Passo 6
Os pontos de inflexão são onde
:
Passo 7
Para ver concavidade, basta o sinal de
:
• : dá produto negativo → concavidade para baixo.
• : produto positivo → concavidade para cima.
• : produto negativo → concavidade para baixo.
• : produto positivo → concavidade para cima.
Em cada inflexão, o valor de é
•
•
•
•
Em cada inflexão, o valor de
Passo 8
Quanto a assíntotas, em
temos
, então
. Logo, existe a assíntota horizontal
. Não há assíntotas verticais nem oblíquas porque a função é contínua e decai rapidamente.
Passo 9
Com todas essas informações — zeros, extremos, crescimento/decrescimento, concavidade, inflexões e assíntota — podemos esboçar o gráfico de
, que cruza a origem, atinge mínimo em
, máximo em
, e tende a zero nas duas pontas.
Resposta
Pontos críticos:
.
Mínimo local em ,
.
Máximo local em ,
.
Crescente para ; decrescente para
e
.
Concavidade para cima em ; para baixo em
.
Pontos de inflexão em com
e
.
Assíntota horizontal: .
Mínimo local em
Máximo local em
Crescente para
Concavidade para cima em
Pontos de inflexão em
Assíntota horizontal: