Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
(j) ; f(x)=x e^-x^2.

Passo 1

A questão nos dá a função f(x)=x e^-x^2 e quer que a gente ache pontos críticos, máximos, mínimos, regiões de crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas (se existirem) e, por fim, esboce o gráfico. Para isso, vamos usar derivadas primeira e segunda, analisar sinais, limites em infinito e entender como tudo isso molda o gráfico.

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira usando a regra do produto. Se f(x)=x e g(x)=e^-x^2, então
f'(x)=x,(e^-x^2)'+(x)',e^-x^2=x,(-2x)e^-x^2+1cdot e^-x^2=e^-x^2(1-2x^2)

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos f'(x)=0. Como e^-x^2>0 sempre, basta
1-2x^2=0implies x^2=tfrac12implies x=pm1raiz2

Passo 4

Agora analisamos o sinal de f'(x)=e^-x^2(1-2x^2). Como e^-x^2>0, o sinal vem de 1-2x^2:
• Se |x|<1/raiz2, então 1-2x^2>0 e f'(x)>0 (função cresce).
• Se |x|>1/raiz2, então 1-2x^2<0 e f'(x)<0 (função decresce).
Logo, há um mínimo local em x=-1/raiz2 (decresce → cresce) e um máximo local em x=1/raiz2 (cresce → decresce). Os valores são
fl(pmtfrac1raiz2r)=pmtfrac1raiz2e^-1/2=pm1raiz2e

Passo 5

Para a concavidade, calculamos a derivada segunda. Partindo de f'(x)=e^-x^2(1-2x^2), temos
f''(x)=ddxl[e^-x^2(1-2x^2)r]=e^-x^2(-2x)(1-2x^2)+e^-x^2(-4x)=e^-x^2(-6x+4x^3)=2x(2x^2-3)e^-x^2

Passo 6

Os pontos de inflexão são onde f''(x)=0:
2x(2x^2-3)=0implies x=0,;x=pmraiztfrac32

Passo 7

Para ver concavidade, basta o sinal de 2x(2x^2-3):
x<-raiz3/2: dá produto negativo → concavidade para baixo.
-raiz3/2: produto positivo → concavidade para cima.
0: produto negativo → concavidade para baixo.
x>raiz3/2: produto positivo → concavidade para cima.
Em cada inflexão, o valor de f é
f(0)=0, fl(pmraiz3/2r)=pmraiztfrac32,e^-3/2

Passo 8

Quanto a assíntotas, em xtopminfty temos e^-x^2to0, então f(x)to0. Logo, existe a assíntota horizontal y=0. Não há assíntotas verticais nem oblíquas porque a função é contínua e decai rapidamente.

Passo 9

Com todas essas informações — zeros, extremos, crescimento/decrescimento, concavidade, inflexões e assíntota — podemos esboçar o gráfico de f(x)=x e^-x^2, que cruza a origem, atinge mínimo em x=-1/raiz2, máximo em x=1/raiz2, e tende a zero nas duas pontas.

Resposta

Pontos críticos: x=pm1/raiz2.
Mínimo local em x=-1/raiz2, f=-1/raiz2e.
Máximo local em x=1/raiz2, f=1/raiz2e.
Crescente para -1/raiz2; decrescente para x<-1/raiz2 e x>1/raiz2.
Concavidade para cima em (-raiz3/2,0)cup(raiz3/2,infty); para baixo em ( -infty,-raiz3/2)cup(0,raiz3/2).
Pontos de inflexão em x=0,pmraiz3/2 com f(0)=0 e f(pmraiz3/2)=pmraiz3/2,e^-3/2.
Assíntota horizontal: y=0.

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