Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=11+4 x^2

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a função f(x)=\frac{1}{1+4x^2} como uma série de potências e achar seu intervalo de convergência — conteúdo típico de séries de potências e série geométrica modificada.

Passo 2

A ideia é reconhecer que 1+4x^2 pode ser visto como 1−(−4x^2), de modo que podemos usar a fórmula da série geométrica 11−r=sumn=0^infty r^n sempre que |r|<1. Aqui escolhemos r=−4x^2.

Passo 3

Substituindo na série geométrica obtemos
11+4x^2=11−(−4x^2)=sumn=0^infty(-4x^2)^n
Agora basta reescrever cada termo como potência de x:
Expandindo cada termo:
$$
(-4x2)n = (-1)n4n x^{2n},
(-4x^2)^n = (-1)^n4^n x^2n, \frac{1}{1+4x2}=\sum_{n=0}\infty(-1)n4n x^{2n}.$$

Passo 4

Para o intervalo de convergência usamos a condição |r|<1, ou seja |−4x^2|<1 que dá 4x^2<1 e, portanto, |x|. Falta checar os extremos: em x=±tfrac12 a série vira sum(-1)^n que é divergente. Então o intervalo de convergência é (-tfrac12,tfrac12).

Resposta

A série de potências é
11+4x^2=sumn=0^infty(-1)^n4^n x^2n,
com intervalo de convergência |x|, isto é (-tfrac12,tfrac12).

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