Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver a função f(x)=\frac{1}{1+4x^2} como uma série de potências e achar seu intervalo de convergência — conteúdo típico de séries de potências e série geométrica modificada.
Passo 2
A ideia é reconhecer que 1+4x^2 pode ser visto como 1−(−4x^2), de modo que podemos usar a fórmula da série geométrica
sempre que
. Aqui escolhemos
.
Passo 3
Substituindo na série geométrica obtemos
Agora basta reescrever cada termo como potência de x:
Expandindo cada termo:
$$
(-4x2)n = (-1)n4n x^{2n},
Passo 4
Para o intervalo de convergência usamos a condição
, ou seja
que dá
e, portanto,
. Falta checar os extremos: em
a série vira
que é divergente. Então o intervalo de convergência é
.
Resposta
A série de potências é
com intervalo de convergência