Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. f(x)=xx-3

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a representação em série de potências de f(x)=xx-3 em torno de x=0 e determinar o seu intervalo de convergência. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar a fórmula da série geométrica 11-t=sumn=0^infty t^n válida para |t|<1.

Passo 2

Para aplicar a série geométrica, reescrevemos f(x) isolando uma parte no formato 1/(1-t). Note que
f(x)=xx-3= -x3-x= -x3cdot11-x3

Passo 3

Agora usamos a série geométrica com t=x3. Assim,
f(x)=-x3sumn=0^inftyl(x3r)^n=-sumn=0^inftyx^n+13^n+1
Para escrever a soma começando em n=1, trocamos o índice n+1to n e obtemos
f(x)=-sumn=1^inftyl(x3r)^n

Passo 4

Para a convergência da série geométrica precisamos de
l|x3r|<1Longrightarrow|x|<3
Nos extremos x=3 e x=-3 a série não converge (ou diverge por oscilar), portanto o intervalo de convergência é (-3,3).

Resposta

A série de potências de f(x) em torno de zero é
f(x)=-sumn=1^inftyl(x3r)^n
e ela converge para |x|<3, isto é, no intervalo de convergência (-3,3).

Exercícios relacionados