Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos a representação em série de potências de em torno de e determinar o seu intervalo de convergência. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar a fórmula da série geométrica válida para .
Passo 2
Para aplicar a série geométrica, reescrevemos isolando uma parte no formato . Note que
Passo 3
Agora usamos a série geométrica com . Assim,
Para escrever a soma começando em , trocamos o índice e obtemos
Passo 4
Para a convergência da série geométrica precisamos de
Nos extremos x=3 e x=-3 a série não converge (ou diverge por oscilar), portanto o intervalo de convergência é (-3,3).
Resposta
A série de potências de f(x) em torno de zero é
f(x)=-sumn=1^inftyl(x3r)^n
e ela converge para |x|<3, isto é, no intervalo de convergência (-3,3).