Para cada função determine o período e o conjunto imagem, construindo o gráfico de um período completo.
f: R \rightarrow R \mid f(x)=-\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por f(x)=-\operatorname{sen} x:
  • Determinar o período de f.
  • Determinar o conjunto imagem (o intervalo de valores que f assume).
  • Construir (descrever passo a passo) o gráfico de um período completo de f.
Informações dadas: a função é exatamente f(x)=-\operatorname{sen} x definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

O que significa “função periódica” e como identificar o período.
Definição: uma função g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é periódica se existe um número real positivo T>0 tal que
g(x+T)=g(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Um período de g é qualquer T>0 que satisfaça essa igualdade; o menor período positivo é chamado período fundamental.
Aplicando ao nosso caso: precisamos achar o menor T>0 tal que
-\operatorname{sen}(x+T)=-\operatorname{sen} x\quad\text{para todo }x.
Multiplicando por -1 obtemos a condição equivalente
\operatorname{sen}(x+T)=\operatorname{sen} x\quad\text{para todo }x.

Passo 3

Período da função \operatorname{sen} x e conclusão para -\operatorname{sen} x.
Fato conhecido (e fácil de verificar): a função \operatorname{sen} x tem período fundamental 2\pi; isto é,
\operatorname{sen}(x+2\pi)=\operatorname{sen} x\quad\text{para todo }x,
e não existe T\in(0,2\pi) que satisfaça \operatorname{sen}(x+T)=\operatorname{sen} x para todo x.
Logo 2\pi é período de \operatorname{sen} x. Como a multiplicação por -1 apenas inverte verticalmente o gráfico, a igualdade
-\operatorname{sen}(x+2\pi)=-\operatorname{sen} x
também vale, então 2\pi é um período de -\operatorname{sen} x.
Devemos verificar se existe algum período positivo menor que 2\pi para -\operatorname{sen} x. Se T>0 satisfizer
\operatorname{sen}(x+T)=\operatorname{sen} x\quad\text{para todo }x,
então em particular, tomando x=0,
\operatorname{sen} T=\operatorname{sen}0=0,
logo T é um múltiplo inteiro de \pi: T=n\pi para algum n\in\mathbb{Z}. Se n for ímpar, então para todo x vale \operatorname{sen}(x+n\pi)=(-1)^n\operatorname{sen} x=-\operatorname{sen} x, que não é igual a \operatorname{sen} x em geral; portanto n deve ser par. Assim os candidatos são T=2k\pi com k\in\mathbb{N}, e o menor positivo é T=2\pi.
Conclusão: o período fundamental de f(x)=-\operatorname{sen} x é
\boxed{2\pi}.

Passo 4

Determinar o conjunto imagem (intervalo de valores).
Conhecimento básico: para todo x tem-se -1\le \operatorname{sen} x\le 1. Multiplicando por -1 inverte as desigualdades:
-1\le \operatorname{sen} x\le 1 \quad\Rightarrow\quad -1\ge -\operatorname{sen} x\ge -1\cdot 1,
mas devemos ordenar corretamente: multiplicando por -1
-1\le \operatorname{sen} x\le 1 \quad\Longrightarrow\quad -1\le -\operatorname{sen} x\le 1
(nota: a desigualdade preservou os mesmos extremos porque o conjunto \{\operatorname{sen} x\} simétrico).
Mais direto: imagem de \operatorname{sen} x é [-1,1]; refletir verticalmente não altera o intervalo numérico. Portanto o conjunto imagem de f é
\boxed{[-1,\,1]}.

Passo 5

Construção do gráfico de um período completo (instruções passo a passo para desenhar em [0,2\pi]).
Vamos desenhar o gráfico de f em um período completo, por exemplo no intervalo [0,2\pi]. Primeiro calcule valores-chave (faça esses cálculos na prova; são rápidos):
  • x=0:\quad f(0)=-\operatorname{sen}0=0.
  • x=\dfrac{\pi}{2}:\quad f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-1.
  • x=\pi:\quad f(\pi)=-\operatorname{sen}\pi=0.
  • x=\dfrac{3\pi}{2}:\quad f\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=-\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=+1.
  • x=2\pi:\quad f(2\pi)=-\operatorname{sen}(2\pi)=0.
Interpretação geométrica e forma do gráfico:
  • O gráfico de -\operatorname{sen} x é o do \operatorname{sen} x refletido em relação ao eixo x. Assim onde \operatorname{sen} x tem máximo +1 (em x=\pi/2), -\operatorname{sen} x tem mínimo -1; onde \operatorname{sen} x tinha mínimo -1 (em x=3\pi/2), -\operatorname{sen} x tem máximo +1.
  • Entre os pontos listados o gráfico é uma curva suave e periódica (curva seno invertida): começa em (0,0), desce até (\pi/2,-1), sobe até (\pi,0), continua subindo até (3\pi/2,1) e volta a zero em (2\pi,0).
  • Amplitude: distância do eixo médio y=0 até máximo ou mínimo é 1. Assim a “altura” total é 2.
  • Simetria: -\operatorname{sen} x é uma função ímpar (assim como \operatorname{sen} x); ou seja, f(-x)=-f(x). Isso aparece no gráfico como simetria ímpar em relação à origem.
Como desenhar (passo a passo prático para a prova, sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos x e y. Marque no eixo x os pontos 0,\\ \dfrac{\pi}{2},\\ \pi,\\ \dfrac{3\pi}{2},\\\ 2\pi.
  2. No eixo y marque -1 e +1.
  3. Plote os pontos: (0,0), \left(\dfrac{\pi}{2},-1\right), (\pi,0), \left(\dfrac{3\pi}{2},1\right), (2\pi,0).
  4. Una os pontos com uma curva suave tipo “S invertido”: de 0 desce até -1 em \pi/2, sobe até 0 em \pi, sobe até +1 em 3\pi/2 e volta a 0 em 2\pi.
  5. Se quiser continuar, repita esse padrão horizontalmente a cada intervalo de comprimento 2\pi.
Pequena verificação numérica para ganhar confiança (exemplo): f\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\tfrac{1}{2}. Esse ponto fica entre 0 e -1 em \dfrac{\pi}{6}, coerente com a curva.

Resposta

Período: 2\pi
Conjunto imagem: [-1,1]

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