Para cada função determine o período e o conjunto imagem, construindo o gráfico de um período completo.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
dada por
:
- Determinar o período de
. - Determinar o conjunto imagem (o intervalo de valores que
assume). - Construir (descrever passo a passo) o gráfico de um período completo de
.
Informações dadas: a função é exatamente
definida para todo
.
Passo 2
O que significa “função periódica” e como identificar o período.
Definição: uma função
é periódica se existe um número real positivo
tal que
Um período de
é qualquer
que satisfaça essa igualdade; o menor período positivo é chamado período fundamental.
Aplicando ao nosso caso: precisamos achar o menor
tal que
Multiplicando por
obtemos a condição equivalente
Passo 3
Período da função
e conclusão para
.
Fato conhecido (e fácil de verificar): a função
tem período fundamental
; isto é,
e não existe
que satisfaça
para todo
.
Logo
é período de
. Como a multiplicação por
apenas inverte verticalmente o gráfico, a igualdade
também vale, então
é um período de
.
Devemos verificar se existe algum período positivo menor que
para
. Se
satisfizer
então em particular, tomando
,
logo
é um múltiplo inteiro de
:
para algum
. Se
for ímpar, então para todo
vale
, que não é igual a
em geral; portanto
deve ser par. Assim os candidatos são
com
, e o menor positivo é
.
Conclusão: o período fundamental de
é
Passo 4
Determinar o conjunto imagem (intervalo de valores).
Conhecimento básico: para todo
tem-se
. Multiplicando por
inverte as desigualdades:
mas devemos ordenar corretamente: multiplicando por
dá
(nota: a desigualdade preservou os mesmos extremos porque o conjunto
simétrico).
Mais direto: imagem de
é
; refletir verticalmente não altera o intervalo numérico. Portanto o conjunto imagem de
é
Passo 5
Construção do gráfico de um período completo (instruções passo a passo para desenhar em
).
Vamos desenhar o gráfico de
em um período completo, por exemplo no intervalo
. Primeiro calcule valores-chave (faça esses cálculos na prova; são rápidos):
Interpretação geométrica e forma do gráfico:
- O gráfico de
é o do refletido em relação ao eixo . Assim onde tem máximo (em ), tem mínimo ; onde tinha mínimo (em ), tem máximo . - Entre os pontos listados o gráfico é uma curva suave e periódica (curva seno invertida): começa em
, desce até , sobe até , continua subindo até e volta a zero em . - Amplitude: distância do eixo médio
até máximo ou mínimo é . Assim a “altura” total é . - Simetria:
é uma função ímpar (assim como ); ou seja, . Isso aparece no gráfico como simetria ímpar em relação à origem.
Como desenhar (passo a passo prático para a prova, sem calculadora):
- Desenhe os eixos
e . Marque no eixo os pontos . - No eixo
marque e . - Plote os pontos:
, , , , . - Una os pontos com uma curva suave tipo “S invertido”: de
desce até em , sobe até em , sobe até em e volta a em . - Se quiser continuar, repita esse padrão horizontalmente a cada intervalo de comprimento
.
Pequena verificação numérica para ganhar confiança (exemplo):
. Esse ponto fica entre
e
em
, coerente com a curva.
Resposta
Período:
Conjunto imagem:
Conjunto imagem: