Determine o máximo e o mínimo global da função
no conjunto
, em cada um dos casos:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o máximo e o mínimo global da função
no conjunto
. As informações dadas são:
- A função é
. - O conjunto é
, ou seja, o disco fechado de raio centrado na origem.
Portanto precisamos encontrar os pontos em
onde
atinge seu maior valor e seu menor valor, e indicar esses valores.
Passo 2
Primeiro uma propriedade útil:
é uma função polinomial em
e
, logo é contínua. O conjunto
é fechado e limitado (compacto). Pelo Teorema de Weierstrass, uma função contínua em um conjunto compacto atinge máximo e mínimo globais em
. Logo existem pontos em
onde
atinge seus extremos; precisamos localizá-los.
Estratégia prática: buscar pontos críticos no interior do disco e depois analisar a fronteira (o círculo
). Os candidatos a extremos são os pontos críticos internos e os pontos da fronteira onde
atinge extremos.
Passo 3
Calcular pontos críticos no interior (onde
). Derivadas parciais:
Zerando simultaneamente:
Logo o único ponto crítico interno é
. Avaliando
nele:
Para classificar: as segundas derivadas são
,
, e
. O determinante da matriz Hessiana é
o que indica que
é um ponto de sela — portanto não é nem máximo nem mínimo global.
Passo 4
Analisar a fronteira:
. Uma maneira simples é parametrizar o círculo por um ângulo
:
Substituindo em
:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Passo 5
Agora usamos que
varia entre
e
. Portanto
varia entre
e
também, e
Os valores extremos ocorrem quando
atinge seus extremos:
- Para
temos e . acontece quando , isto é . Esses correspondem aos pontos (para ) e (para ). Verificação direta: . - Para
temos e . acontece quando , isto é . Esses correspondem aos pontos e . Verificação direta: .
Como o único ponto crítico interno deu
e os valores na fronteira variam até
, concluímos que os extremos globais em
ocorrem na fronteira conforme calculado.
Resposta
Máximo global:
atingido em
e
.
Mínimo global: atingido em
e
.
Mínimo global: