Determine o máximo e o mínimo global da função f no conjunto A, em cada um dos casos:
(c) f(x, y)=y^{2}-x^{2}, A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{\mid} x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o máximo e o mínimo global da função f no conjunto A. As informações dadas são:
  • A função é f(x,y)=y^{2}-x^{2}.
  • O conjunto é A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}, ou seja, o disco fechado de raio 2 centrado na origem.
Portanto precisamos encontrar os pontos em A onde f atinge seu maior valor e seu menor valor, e indicar esses valores.

Passo 2

Primeiro uma propriedade útil: f é uma função polinomial em x e y, logo é contínua. O conjunto A é fechado e limitado (compacto). Pelo Teorema de Weierstrass, uma função contínua em um conjunto compacto atinge máximo e mínimo globais em A. Logo existem pontos em A onde f atinge seus extremos; precisamos localizá-los.
Estratégia prática: buscar pontos críticos no interior do disco e depois analisar a fronteira (o círculo x^{2}+y^{2}=4). Os candidatos a extremos são os pontos críticos internos e os pontos da fronteira onde f atinge extremos.

Passo 3

Calcular pontos críticos no interior (onde x^{2}+y^{2}<4). Derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} = -2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y.
Zerando simultaneamente:
-2x=0\\ \Rightarrow\\ x=0,\qquad 2y=0\\ \Rightarrow\\ y=0.
Logo o único ponto crítico interno é (0,0). Avaliando f nele:
f(0,0)=0.
Para classificar: as segundas derivadas são \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=-2, \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=2, e \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=0. O determinante da matriz Hessiana é
D = (-2)(2)-0^{2}=-4<0,
o que indica que (0,0) é um ponto de sela — portanto não é nem máximo nem mínimo global.

Passo 4

Analisar a fronteira: x^{2}+y^{2}=4. Uma maneira simples é parametrizar o círculo por um ângulo \theta:
x=2\cos\theta,\qquad y=2\sin\theta,\qquad \theta\in[0,2\pi).
Substituindo em f:
f(2\cos\theta,2\sin\theta)= (2\sin\theta)^{2}-(2\cos\theta)^{2}=4\sin^{2}\theta-4\cos^{2}\theta = 4(\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta).
Usando a identidade trigonométrica \sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta = -\cos 2\theta, obtemos
f\bigl(2\cos\theta,2\sin\theta\bigr) = -4\cos 2\theta.

Passo 5

Agora usamos que \cos 2\theta varia entre -1 e 1. Portanto -\cos 2\theta varia entre -1 e 1 também, e
f\bigl(2\cos\theta,2\sin\theta\bigr)\in[-4,4].
Os valores extremos ocorrem quando \cos 2\theta atinge seus extremos:
  • Para \cos 2\theta = -1 temos -\cos 2\theta = 1 e f=4. \cos 2\theta=-1 acontece quando 2\theta=\pi+2k\pi, isto é \theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi. Esses \theta correspondem aos pontos (x,y)=(0,2) (para \theta=\tfrac{\pi}{2}) e (0,-2) (para \theta=\tfrac{3\pi}{2}). Verificação direta: f(0,\pm 2)=4.
  • Para \cos 2\theta = 1 temos -\cos 2\theta = -1 e f=-4. \cos 2\theta=1 acontece quando 2\theta=0+2k\pi, isto é \theta=0,\pi. Esses \theta correspondem aos pontos (x,y)=(2,0) e (-2,0). Verificação direta: f(\pm 2,0)=-4.
Como o único ponto crítico interno deu f=0 e os valores na fronteira variam até \pm 4, concluímos que os extremos globais em A ocorrem na fronteira conforme calculado.

Resposta

Máximo global: f_{\max}=4 atingido em (0,2) e (0,-2).
Mínimo global: f_{\min}=-4 atingido em (2,0) e (-2,0).

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