Determine o máximo e o mínimo global da função
no conjunto
, em cada um dos casos:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a função
e o conjunto
:
-
. -
(o disco fechado de raio centrado na origem).
O que se pede:
- Determinar o máximo global de
em . - Determinar o mínimo global de
em .
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- O domínio considerado é o disco fechado de raio
(ou seja, todos os pontos com norma menor ou igual a ). - A função
é linear (uma combinação afim dos coeficientes e ).
Passo 2
Observação geral (teorema usado): uma função contínua em um conjunto compacto (fechado e limitado) atinge seu máximo e seu mínimo nesse conjunto.
Explicação rápida: o disco é fechado e limitado, logo compacto; a função
é contínua (é linear). Portanto existem pontos em
onde
atinge seu valor máximo e seu valor mínimo. Isso garante que faz sentido procurar pontos onde os extremos ocorrem.
Explicação rápida: o disco
Passo 3
Procurar extremos no interior do disco: calcular o gradiente para ver se há pontos críticos internos.
- O gradiente de
é . - Para ter ponto crítico interior seria necessário
, o que não ocorre porque .
Conclusão: não há pontos críticos no interior do disco. Logo os extremos devem ocorrer na fronteira do disco (a circunferência
), ou o caso degenerado em que
fosse constante (o que não é).
Passo 4
Reescrever
como produto interno para usar uma desigualdade útil:
- Defina o vetor
e o vetor . Então
- A desigualdade de Cauchy–Schwarz diz que, para quaisquer vetores
,
Aqui
é a norma euclidiana (raiz da soma dos quadrados das componentes).
Passo 5
Aplicar Cauchy–Schwarz ao nosso caso:
- Para
tem-se . Assim
- Calcule a norma de
:
Portanto para todo
vale
Passo 6
Determinar quando ocorre igualdade na desigualdade (ou seja, quando os extremos são atingidos):
- Na desigualdade de Cauchy–Schwarz a igualdade ocorre quando
é colinear com , isto é, para algum escalar . Como queremos (pelo passo anterior a norma deve ser exatamente para atingir ), obtemos
para o máximo, e o vetor oposto para o mínimo:
- Calcule os valores correspondentes:
Verificação rápida: os pontos encontrados pertencem à fronteira (
) e satisfazem as condições de igualdade.
Passo 7
Interpretação geométrica rápida (para fixar a intuição): a função linear
mede a projeção do ponto
na direção
. No disco unitário a maior projeção possível é a projeção da direção unitária de
, e a menor é a projeção na direção oposta. Isso é exatamente o que a Cauchy–Schwarz formaliza.
Resposta
Máximo global:
atingido em
Mínimo global: atingido em
Mínimo global: