Determine o máximo e o mínimo global da função f no conjunto A, em cada um dos casos:
(a) f(x, y)=3 x-y, A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{\|} x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} e o conjunto A:
  • f(x,y)=3x-y.
  • A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\le 1\} (o disco fechado de raio 1 centrado na origem).
O que se pede:
  • Determinar o máximo global de f em A.
  • Determinar o mínimo global de f em A.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • O domínio considerado é o disco fechado de raio 1 (ou seja, todos os pontos com norma menor ou igual a 1).
  • A função f é linear (uma combinação afim dos coeficientes 3 e -1).

Passo 2

Observação geral (teorema usado): uma função contínua em um conjunto compacto (fechado e limitado) atinge seu máximo e seu mínimo nesse conjunto.
Explicação rápida: o disco A é fechado e limitado, logo compacto; a função f é contínua (é linear). Portanto existem pontos em A onde f atinge seu valor máximo e seu valor mínimo. Isso garante que faz sentido procurar pontos onde os extremos ocorrem.

Passo 3

Procurar extremos no interior do disco: calcular o gradiente para ver se há pontos críticos internos.
  • O gradiente de f é \nabla f(x,y)=(3,-1).
  • Para ter ponto crítico interior seria necessário \nabla f(x,y)=(0,0), o que não ocorre porque (3,-1)\neq(0,0).
Conclusão: não há pontos críticos no interior do disco. Logo os extremos devem ocorrer na fronteira do disco (a circunferência x^{2}+y^{2}=1), ou o caso degenerado em que f fosse constante (o que não é).

Passo 4

Reescrever f como produto interno para usar uma desigualdade útil:
  • Defina o vetor \mathbf{a}=(3,-1) e o vetor \mathbf{x}=(x,y). Então
f(x,y)=3x-y=\langle \mathbf{a},\mathbf{x}\rangle.
  • A desigualdade de Cauchy–Schwarz diz que, para quaisquer vetores \mathbf{a},\mathbf{x},
|\langle \mathbf{a},\mathbf{x}\rangle|\le \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{x}\|.
Aqui \|\mathbf{v}\| é a norma euclidiana (raiz da soma dos quadrados das componentes).

Passo 5

Aplicar Cauchy–Schwarz ao nosso caso:
  • Para (x,y)\in A tem-se \|\mathbf{x}\|\le 1. Assim
|f(x,y)|=|\langle \mathbf{a},\mathbf{x}\rangle|\le \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{x}\|\le \|\mathbf{a}\|.
  • Calcule a norma de \mathbf{a}:
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.
Portanto para todo (x,y)\in A vale
-\sqrt{10}\le f(x,y)\le \sqrt{10}.

Passo 6

Determinar quando ocorre igualdade na desigualdade (ou seja, quando os extremos são atingidos):
  • Na desigualdade de Cauchy–Schwarz a igualdade ocorre quando \mathbf{x} é colinear com \mathbf{a}, isto é, \mathbf{x}=t\mathbf{a} para algum escalar t. Como queremos \|\mathbf{x}\|=1 (pelo passo anterior a norma deve ser exatamente 1 para atingir \|\mathbf{a}\|), obtemos
\mathbf{x}=\frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|}=\frac{1}{\sqrt{10}}(3,-1)
para o máximo, e o vetor oposto para o mínimo:
\mathbf{x}=-\frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|}=\frac{1}{\sqrt{10}}(-3,1).
  • Calcule os valores correspondentes:
f\!\left(\frac{3}{\sqrt{10}},-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)=\left\langle(3,-1),\frac{1}{\sqrt{10}}(3,-1)\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{10}}\|(3,-1)\|^{2}=\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot 10=\sqrt{10}.
f\!\left(-\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\right)=-\sqrt{10}.
Verificação rápida: os pontos encontrados pertencem à fronteira ( x^{2}+y^{2}=1) e satisfazem as condições de igualdade.

Passo 7

Interpretação geométrica rápida (para fixar a intuição): a função linear f(x,y)=3x-y mede a projeção do ponto (x,y) na direção \mathbf{a}=(3,-1). No disco unitário a maior projeção possível é a projeção da direção unitária de \mathbf{a}, e a menor é a projeção na direção oposta. Isso é exatamente o que a Cauchy–Schwarz formaliza.

Resposta

Máximo global: f_{\max}=\sqrt{10} atingido em \left(\dfrac{3}{\sqrt{10}},-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)
Mínimo global: f_{\min}=-\sqrt{10} atingido em \left(-\dfrac{3}{\sqrt{10}},\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)

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