Para cada função f abaixo e cada valor c \in \mathbb{R}, descreva os conjuntos de nível abaixo, isto é, o conjunto dos pontos \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) que satisfazem f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=c.
d) f(x, y, z)=x+y+z, \quad c=-1,0,1.

Passo 1

O enunciado pede os conjuntos de nível de f\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R} definida por
f(x,y,z)=x+y+z
para os valores c=-1, c=0 e c=1. O conteúdo aqui é a definição de conjunto de nível (ou nível-set) e a interpretação geométrica de equações lineares em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Por definição, o conjunto de nível de f no valor c é
L_c = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid f(x,y,z)=c\bigr\} =\{(x,y,z)\mid x+y+z=c\}.
Essa equação caracteriza em \mathbb{R}^3 um plano.

Passo 3

Note que x+y+z=c é a equação de um plano cujo vetor normal é
\mathbf{n}=(1,1,1),
e que, variando c, obtemos planos todos paralelos entre si, deslocados ao longo da direção de \mathbf{n}.

Passo 4

Bastaplugarmos cada valor de c na equação x+y+z=c:
  • Para c=-1: obtemos o plano x+y+z=-1.
  • Para c=0: obtemos o plano x+y+z=0, que passa pela origem.
  • Para c=1: obtemos o plano x+y+z=1.

Resposta

Para cada c, o conjunto de nível é o plano em \mathbb{R}^3 dado por:
(a) c=-1:\;\{(x,y,z)\mid x+y+z=-1\}.
(b) c=0:\;\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}.
(c) c=1:\;\{(x,y,z)\mid x+y+z=1\}.

Exercícios relacionados