Para cada função f abaixo e cada valor c \in \mathbb{R}, descreva os conjuntos de nível abaixo, isto é, o conjunto dos pontos \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) que satisfazem f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=c.
f) f(x, y)=\frac{1}{\left(x^{2}+2 y^{2}\right)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede os conjuntos de nível da função
f(x,y)=\frac{1}{\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)^{2}}
ou seja, para cada c\in\mathbb{R} encontrar
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid f(x,y)=c\}.
O conteúdo aqui é estudo de níveis de funções de duas variáveis e identificação de seções cônicas.

Passo 2

Começamos escrevendo a equação f(x,y)=c:
\frac{1}{\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)^{2}}=c.
Desde que o denominador não seja zero (isto é, (x,y)\neq(0,0)), podemos inverter e obter
\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)^{2}=\frac{1}{c}.

Passo 3

Como x^{2}+2y^{2}\ge0, extraímos raiz quadrada:
x^{2}+2y^{2}=\pm\frac{1}{\sqrt{c}}.
Para que haja solução real deve valer \tfrac{1}{\sqrt{c}}\ge0, isto é, c>0. Logo,
  • Se c\le0, não há pontos que satisfaçam f(x,y)=c.
  • Se c>0, a única possibilidade é
x^{2}+2y^{2}=\frac{1}{\sqrt{c}}.

Passo 4

A equação
x^{2}+2y^{2}=\frac{1}{\sqrt{c}}
é a forma padrão de uma elipse centrada na origem. Para ver os semi-eixos, escrevemos
\frac{x^{2}}{(1/c^{1/4})^{2}}+\frac{y^{2}}{(1/\sqrt{2}\,c^{1/4})^{2}}=1.
Portanto, para cada c>0 o nível f(x,y)=c é essa elipse.

Resposta

Para c\le0: conjunto vazio.
Para c>0:
\{(x,y)\mid x^{2}+2y^{2}=\tfrac{1}{\sqrt{c}}\},
uma elipse de semi-eixos a=1/c^{1/4} (no eixo x) e b=1/(\sqrt{2}\,c^{1/4}) (no eixo y).

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