Para cada função f abaixo e cada valor c \in \mathbb{R}, descreva os conjuntos de nível abaixo, isto é, o conjunto dos pontos \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) que satisfazem f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=c.
b) f(x, y)=e^{x y}, \quad c=e^{-2}, e^{-1}, 1, e, e^{2}, e^{3}.

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x,y)=e^{x y}
e para cada um dos valores
c\in\{e^{-2},\,e^{-1},\,1,\,e,\,e^{2},\,e^{3}\},
descrever o conjunto de nível \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f(x,y)=c\}. Para isso vamos usar a propriedade da exponencial inversível via logaritmo natural.

Passo 2

Partindo de
f(x,y)=c \quad\Longleftrightarrow\quad e^{x y}=c,
aplicamos o logaritmo natural (válido pois c>0) e obtemos
x y = \ln\text{(c)}.
Portanto, o conjunto de nível para um dado c é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\,y = \ln\text{(c)}\}.

Passo 3

Bast a calcular \ln\text{(c)} para cada c e reconhecer a geometria:
Para c=e^{-2} temos \ln\text{(c)}=-2, então
\{(x,y)\mid x\,y = -2\},
uma hipérbole equilátera que se abre nos quadrantes II e IV.
Para c=e^{-1} temos \ln\text{(c)}=-1, então
\{(x,y)\mid x\,y = -1\},
outra hipérbole nos quadrantes II e IV, mas mais “próxima” da origem.
Para c=1 temos \ln\text{(c)}=0, então
\{(x,y)\mid x\,y = 0\},
que é a união das retas x=0 e y=0.
Para c=e temos \ln\text{(c)}=1, então
\{(x,y)\mid x\,y = 1\},
uma hipérbole nos quadrantes I e III.
Para c=e^{2} temos \ln\text{(c)}=2, então
\{(x,y)\mid x\,y = 2\},
uma hipérbole nos quadrantes I e III, «mais afastada» da origem.
Para c=e^{3} temos \ln\text{(c)}=3, então
\{(x,y)\mid x\,y = 3\},
outra hipérbole nos quadrantes I e III ainda mais larga.

Resposta

Para cada c\in\{e^{-2},e^{-1},1,e,e^{2},e^{3}\}, o conjunto de nível é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\,y = \ln\text{(c)}\},
isto é:
c=e^{-2}: hipérbole xy=-2 nos quadrantes II e IV.
c=e^{-1}: hipérbole xy=-1 nos quadrantes II e IV.
c=1: retas x=0 e y=0.
c=e: hipérbole xy=1 nos quadrantes I e III.
c=e^{2}: hipérbole xy=2 nos quadrantes I e III.
c=e^{3}: hipérbole xy=3 nos quadrantes I e III.

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