Para cada função f abaixo e cada valor c \in \mathbb{R}, descreva os conjuntos de nível abaixo, isto é, o conjunto dos pontos \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) que satisfazem f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=c.
g) f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}-9}.

Passo 1

O enunciado pede para descrever, para cada c\in\mathbb{R}, o conjunto de nível
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid f(x,y)=c\},
sendo f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2-9}. O que precisamos usar é a relação entre a raiz quadrada (que só produz valores \ge0) e a equação resultante ao igualar a c.

Passo 2

Antes de igualar a c, identifiquemos o domínio de f. Como temos uma raiz,
x^2+y^2-9\ge0
deve valer. Logo o domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\ge9\},
ou seja, todos os pontos fora (e sobre) o círculo de raio 3.

Passo 3

Agora impomos f(x,y)=c. Temos \sqrt{x^2+y^2-9}=c. Como o lado esquerdo é \ge0, não há solução se c<0. Se c\ge0, podemos elevar ao quadrado:
x^2+y^2-9=c^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2+y^2=c^2+9.

Passo 4

A equação x^2+y^2=c^2+9 representa um círculo de centro na origem e raio \sqrt{c^2+9}. Note que, para c\ge0, esse raio é \ge3, então está dentro do domínio.

Resposta

Para cada c\in\mathbb{R}:
- Se c<0, o conjunto de nível é o vazio: \varnothing.
- Se c\ge0, o conjunto de nível é o círculo de centro (0,0) e raio \sqrt{c^2+9}:
\{(x,y)\mid x^2+y^2=c^2+9\}.

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