Para cada função f abaixo e cada valor c \in \mathbb{R}, descreva os conjuntos de nível abaixo, isto é, o conjunto dos pontos \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) que satisfazem f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=c.
h) f(x, y)=2-\sqrt[4]{x^{2}+4 y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede os conjuntos de nível da função
f(x,y)=2-\sqrt[4]{x^{2}+4y^{2}}
isto é, para cada c\in\mathbb{R}, descrever o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid f(x,y)=c\}.
Para isso precisamos resolver a equação
2-\sqrt[4]{x^{2}+4y^{2}} = c
e interpretar geometricamente o resultado em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Reescrevendo a equação
2-\sqrt[4]{x^{2}+4y^{2}} = c
obtemos
\sqrt[4]{x^{2}+4y^{2}} = 2 - c.
Elevando ambos os lados à quarta potência resulta em
x^{2} + 4y^{2} = (2 - c)^{4}.

Passo 3

Como \sqrt[4]{x^{2}+4y^{2}}\ge0, o lado direito exige 2-c\ge0, ou seja, c\le2.
  • Se c>2, não há solução real.
  • Se c=2, temos x^{2}+4y^{2}=0, o que implica (x,y)=(0,0).
  • Se c<2, o nível é a elipse centrada na origem dada por
x^{2}+4y^{2}=(2 - c)^{4}.

Resposta

Para c>2 o conjunto de nível é vazio.
Para c=2 o conjunto de nível é \{(0,0)\}.
Para c<2 o conjunto de nível é a elipse
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^{2}+4y^{2}=(2 - c)^{4}\}.

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