Para cada função f abaixo, encontre duas funções de iteração \varphi, isto é, funções cujo ponto fixo \bar{x} seja o zero de f.
f(x)=x^{2} \operatorname{sen}(x)-3 x

Passo 1

O enunciado pede duas funções de iteração \varphi tais que cada ponto fixo \bar x de \varphi seja raiz de
f(x)=x^{2}\sin(x)-3x.
Isso envolve técnica de iteração de ponto fixo: basta reescrever f(x)=0 numa forma x=\varphi(x).

Passo 2

Observe que
f(x)=x\bigl(x\sin x-3\bigr)=0.
Para a raiz não trivial ( x\neq0) temos
x\sin x=3
e portanto
x=\frac{3}{\sin x}.
Logo uma escolha é
\phi_{1}(x)=\frac{3}{\sin x}.
De fato, se \bar x=\phi_{1}(\bar x) então \bar x\sin\bar x=3, isto é, f(\bar x)=0.

Passo 3

Outra estratégia é usar a forma
x=\;x-\frac{f(x)}{3},
isto é, definir
\phi_{2}(x) = x-\frac{x^{2}\sin x-3x}{3} = \frac{6x - x^{2}\sin x}{3}.
Se \bar x=\phi_{2}(\bar x) então
\bar x=\frac{6\bar x - \bar x^{2}\sin\bar x}{3} \;\Longrightarrow\; 3\bar x=6\bar x - \bar x^{2}\sin\bar x \;\Longrightarrow\; \bar x^{2}\sin\bar x-3\bar x=0,
logo f(\bar x)=0.

Resposta

\displaystyle \phi_{1}(x)=\frac{3}{\sin x},\quad \phi_{2}(x)=\frac{6x - x^{2}\sin x}{3}.

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