Para cada função f abaixo, encontre duas funções de iteração \varphi, isto é, funções cujo ponto fixo \bar{x} seja o zero de f.
f(x)=\left(\frac{x+3}{x^{2}+2}\right)^{\frac{1}{2}}-\ln (x)

Passo 1

Estamos buscando duas funções de iteração \varphi tais que o ponto fixo \bar x delas satisfaça
\varphi(\bar x)=\bar x \quad\Longrightarrow\quad f(\bar x)=0,
onde
f(x)=\sqrt{\frac{x+3}{x^{2}+2}}-\ln(x).
O método geral é reescrever a equação f(x)=0 numa forma x=\varphi(x).

Passo 2

Isolando o \ln(x) em f(x)=0, temos
\ln(x)=\sqrt{\frac{x+3}{x^{2}+2}}.
Agora exponenciamos os dois lados para obter x explicitamente:
x = \exp\!\Bigl(\sqrt{\frac{x+3}{x^{2}+2}}\Bigr).
Logo uma função de iteração válida é
\phi_{1}(x) = \exp\!\Bigl(\sqrt{\frac{x+3}{x^{2}+2}}\Bigr).

Passo 3

Outra forma de construir \varphi é usar o esquema simples de correção
x = x - \lambda\,f(x),
com \lambda=1. Então
\phi_{2}(x) = x - \Bigl(\sqrt{\frac{x+3}{x^{2}+2}}-\ln(x)\Bigr) = x+\ln(x)-\sqrt{\frac{x+3}{x^{2}+2}}.
Esse \phi_{2} também satisfaz \phi_{2}(\bar x)=\bar x;se; f(\bar x)=0.

Resposta

As duas funções de iteração são:
\phi_{1}(x) = \exp\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{x+3}{x^{2}+2}}\Bigr), \qquad \phi_{2}(x) = x+\ln(x)-\sqrt{\tfrac{x+3}{x^{2}+2}}.

Exercícios relacionados