Seja f(x)=e^{7 x}-e^{2 x}-x, sabendo que existe uma raiz isolada de f no intervalo [-0,8 ;-0,3], escolha uma função de iteração \varphi para aplicar o método das aproximações sucessivas que garanta o convergência do processo iterativo. Verifique se a sequência x_{n}=\varphi\left(x_{n-1}\right) é monótona ou oscilante e escolha um critério de parada que a solução apresentada tenha um erro inferior a 0,02 .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^{7x}-e^{2x}-x
e informa que existe uma raiz isolada em [-0,8,\,-0,3].
Conteúdo: método de ponto-fixo (aproximações sucessivas).
Objetivo: escolher \varphi tal que x=\varphi(x) seja equivalente a f(x)=0, e garantir convergência num intervalo que contenha a raiz.

Passo 2

Para obter \varphi, escrevemos
f(x)=0\quad\Longrightarrow\quad e^{7x}-e^{2x}-x=0
de onde isolamos x:
x = e^{7x}-e^{2x}.
Logo, definimos
\varphi(x)=e^{7x}-e^{2x}.

Passo 3

Verificamos se \varphi é uma contração em [-0,8,\,-0,3]. Calculamos
\varphi'(x)=7e^{7x}-2e^{2x}.
No intervalo dado:
para x=-0,3, \varphi'(-0,3)=7e^{-2,1}-2e^{-0,6}\approx-0,24,
para x=-0,8, \varphi'(-0,8)=7e^{-5,6}-2e^{-1,6}\approx-0,38.
Assim \max_{[-0,8,-0,3]}|\varphi'(x)|\approx0,38<1, ou seja, \varphi é contração.

Passo 4

Como \varphi'(x)<0 em todo o intervalo, \varphi é decrescente. Num método de ponto-fixo com \varphi decrescente, a sequência x_n=\varphi(x_{n-1}) oscila em torno da raiz, aproximando-se alternadamente por cima e por baixo.

Passo 5

Para garantir erro menor que 0,02, usamos o estimador de erro em contrações:
|x_n-\xi|\le \frac{k}{1-k}\,|x_n-x_{n-1}|,
onde k=\max|\varphi'|\approx0,38. Queremos
\frac{k}{1-k}\,|x_n-x_{n-1}|<0,02 \quad\Longrightarrow\quad |x_n-x_{n-1}|<\frac{0,02\,(1-k)}{k} \approx0,033.
Critério de parada:
|x_n - x_{n-1}| < 0,03.

Resposta

\displaystyle \varphi(x)=e^{7x}-e^{2x}, a sequência é oscilante, e pode-se parar quando
|x_n - x_{n-1}| < 0,03,
assegurando erro abaixo de 0,02.

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