Cada função f dada abaixo é suposta 2 \pi-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo [-2 \pi, 2 \pi], calcule seus limites laterais nos pontos x=0 e x= \pm \pi e, por fim, encontre sua série de Fourier:
(l) f(x)=\left\{\begin{array}{l}x,-\pi / 2<x<\pi / 2 \\\\ 0, \pi / 2<x<3 \pi / 2 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define uma função 2\pi\)-periódica \(f\) cujo período principal é \(-\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{3\pi}{2}\), dada por \[f(x)= \begin{cases} x, & -\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{\pi}{2},\\\\ 0, & \tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{3\pi}{2}. \end{cases}
Pede-se:
  1. esboçar o gráfico em [-2\pi,2\pi]\]; 2) calcular os limites laterais em \(x=0 e x=\pm\pi;
    3) encontrar a série de Fourier de período 2\pi.

Passo 2

No intervalo -\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{\pi}{2} a função é a reta f(x)=x, que sobe de \bigl(-\tfrac{\pi}{2},-\tfrac{\pi}{2}\bigr) até \bigl(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr). Em seguida, para \tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{3\pi}{2}, tem-se f(x)=0. Basta então copiar esse padrão a cada 2\pi unidades para cobrir [-2\pi,2\pi].

Passo 3

Para x\to0^\pm estamos no ramo f(x)=x, logo
\lim_{x\to0^-}f(x)=0, \quad \lim_{x\to0^+}f(x)=0.
Em x=\pi ambos os lados caem no trecho f(x)=0 (pela periodicidade), portanto
\lim_{x\to\pi^-}f(x)=0, \quad \lim_{x\to\pi^+}f(x)=0.
Analogamente em x=-\pi obtém-se
\lim_{x\to-\,\pi^-}f(x)=0, \quad \lim_{x\to-\,\pi^+}f(x)=0.

Passo 4

Como f estende-se a uma função ímpar em [-\,\pi,\pi], todos os coeficientes de cosseno são nulos:
a_0=0, \quad a_n=0 \quad(\forall n\ge1).
Os coeficientes de seno vêm de
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}x\sin(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes:
\int_{0}^{\pi/2}x\sin(nx)\,dx =-\frac{x\cos(nx)}{n}\Big|_{0}^{\pi/2} +\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi/2}\cos(nx)\,dx =-\frac{\pi}{2n}\cos\frac{n\pi}{2} +\frac{1}{n^2}\sin\frac{n\pi}{2}.
Logo
b_n =-\frac{\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{n} +\frac{2\,\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{\pi\,n^2}.

Passo 5

Observando os valores \cos(\tfrac{n\pi}{2}) e \sin(\tfrac{n\pi}{2}) para n=2m e n=2m-1, obtemos
b_{2m}=\frac{(-1)^{m+1}}{2m}, \qquad b_{2m-1}=\frac{2\,(-1)^{m-1}}{\pi\,(2m-1)^2}.
Portanto a série de Fourier de f é
f(x) =\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m+1}}{2m}\,\sin(2m x) +\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2\,(-1)^{m-1}}{\pi\,(2m-1)^2}\,\sin\bigl((2m-1)x\bigr).

Resposta

Os limites laterais são
\lim_{x\to0^\pm}f(x)=0, \quad \lim_{x\to\pi^\pm}f(x)=0, \quad \lim_{x\to-\,\pi^\pm}f(x)=0.
A série de Fourier de período 2\pi fica
f(x) =\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m+1}}{2m}\,\sin(2m x) +\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2\,(-1)^{m-1}}{\pi\,(2m-1)^2}\,\sin\bigl((2m-1)x\bigr).

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