Cada função f dada abaixo é suposta 2 \pi-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo [-2 \pi, 2 \pi], calcule seus limites laterais nos pontos x=0 e x= \pm \pi e, por fim, encontre sua série de Fourier:
(l) f(x)=\left\{\begin{array}{l}x,-\pi / 2<x<\pi / 2 \\\\ 0, \pi / 2<x<3 \pi / 2 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado define uma função 2\pi\)-periódica \(f\) cujo período principal é \(-\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{3\pi}{2}\), dada por
\[f(x)= \begin{cases} x, & -\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{\pi}{2},\\\\ 0, & \tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{3\pi}{2}. \end{cases}
Pede-se:
esboçar o gráfico em [-2\pi,2\pi]\];
2) calcular os limites laterais em \(x=0 e x=\pm\pi;
3) encontrar a série de Fourier de período 2\pi.
Passo 2
No intervalo -\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{\pi}{2} a função é a reta f(x)=x, que sobe de \bigl(-\tfrac{\pi}{2},-\tfrac{\pi}{2}\bigr) até \bigl(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr). Em seguida, para \tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{3\pi}{2}, tem-se f(x)=0. Basta então copiar esse padrão a cada 2\pi unidades para cobrir [-2\pi,2\pi].
Passo 3
Para x\to0^\pm estamos no ramo f(x)=x, logo
\lim_{x\to0^-}f(x)=0, \quad \lim_{x\to0^+}f(x)=0.
Em x=\pi ambos os lados caem no trecho f(x)=0 (pela periodicidade), portanto