Cada função
dada abaixo é suposta
-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo
, calcule seus limites laterais nos pontos
e
e, por fim, encontre sua série de Fourier:
(h)
(h)
Passo 1
O enunciado define a função
Precisamos esboçar o gráfico em
e
e, por fim, determinar a série de Fourier de
. Usaremos as fórmulas padrão de coeficientes de Fourier e propriedades de periodicidade.
Passo 2
Para o esboço em
, basta traçar uma reta de inclinação
que vai de
até
, e depois uma reta decrescente de inclinação
que vai de
até
. Em seguida, repete-se essa forma para os intervalos
e
. O gráfico resultante em
é uma onda triangular de período
.
Passo 3
Cálculo dos limites laterais:
- Em ,
- Em
- Em
,
- Em
, usando periodicidade
, obtemos
Passo 4
Para a série de Fourier escrevemos
Como
e
, conclui-se
.
Passo 5
Cálculo de
partindo de
e .
Logo
e
Logo
que dá
se
é par e
se
é ímpar.
Passo 6
Cálculo de
usando
e .
Temos
e
Temos
ou seja
para
par e
para
ímpar.
Passo 7
Reunindo todos os termos, a série de Fourier de
fica só com modos ímpares:
Resposta
Gráfico: onda triangular de período
com rampas em cada intervalo de comprimento
.
Limites laterais:
Série de Fourier:
Limites laterais:
Série de Fourier: