Cada função f dada abaixo é suposta 2 \pi-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo [-2 \pi, 2 \pi], calcule seus limites laterais nos pontos x=0 e x= \pm \pi e, por fim, encontre sua série de Fourier:
(k) f(x)=\left\{\begin{array}{l}1,-\pi / 2<x<\pi / 2 \\\\ -1, \pi / 2<x<3 \pi / 2\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá a função f\) de período \(2\pi\) definida, num período, por
\[f(x)= \begin{cases} 1,& -\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{\pi}{2},\\\\ -1,& \tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{3\pi}{2}. \end{cases}
Pede‐se:
Esboçar o gráfico de f\] em \([-2\pi,2\pi].
Calcular os limites laterais de f em x=0 e x=\pm\pi.
Encontrar a série de Fourier de f.
Para resolver, vamos usar extensão periódica de período 2\pi, analisar os saltos e aplicar as fórmulas padrão
Logo, o gráfico é uma “onda quadrada” que vale +1 em cada intervalo de largura \pi centrado em múltiplos de 2\pi, e -1 nos intervalos seguintes. Nos pontos x=k\pi\pm\tfrac{\pi}{2} ocorrem saltos de valor.
Passo 3
Em x=0 temos 0\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), e portanto