Cada função f dada abaixo é suposta 2 \pi-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo [-2 \pi, 2 \pi], calcule seus limites laterais nos pontos x=0 e x= \pm \pi e, por fim, encontre sua série de Fourier:
(k) f(x)=\left\{\begin{array}{l}1,-\pi / 2<x<\pi / 2 \\\\ -1, \pi / 2<x<3 \pi / 2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f\) de período \(2\pi\) definida, num período, por \[f(x)= \begin{cases} 1,& -\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{\pi}{2},\\\\ -1,& \tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{3\pi}{2}. \end{cases}
Pede‐se:
  1. Esboçar o gráfico de f\] em \([-2\pi,2\pi].
  2. Calcular os limites laterais de f em x=0 e x=\pm\pi.
  3. Encontrar a série de Fourier de f.
Para resolver, vamos usar extensão periódica de período 2\pi, analisar os saltos e aplicar as fórmulas padrão
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{P}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{P}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{P}f(x)\sin(nx)\,dx,
onde P é um período de comprimento 2\pi.

Passo 2

No intervalo [-2\pi,2\pi], a cada comprimento 2\pi repetimos o trecho
\underbrace{(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})}_{\text{valor }+1} \quad\longrightarrow\quad \underbrace{(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2})}_{\text{valor }-1}.
Logo, o gráfico é uma “onda quadrada” que vale +1 em cada intervalo de largura \pi centrado em múltiplos de 2\pi, e -1 nos intervalos seguintes. Nos pontos x=k\pi\pm\tfrac{\pi}{2} ocorrem saltos de valor.

Passo 3

Em x=0 temos 0\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), e portanto
\lim_{x\to0^-}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=1.
Em x=\pi temos \pi\in(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}), logo
\lim_{x\to\pi^-}f(x)=-1, \qquad \lim_{x\to\pi^+}f(x)=-1.
Por periodicidade, o mesmo vale em x=-\pi:
\lim_{x\to(-\pi)^-}f(x)=-1, \qquad \lim_{x\to(-\pi)^+}f(x)=-1.

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes de Fourier num período P=[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}].
  1. Cálculo de a_0:
\int_{P}f(x)\,dx =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1\,dx +\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}(-1)\,dx =\pi-\pi=0,
portanto a_0=0.
  1. Cálculo de a_n:
a_n =\frac{1}{\pi}\Biggl[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1\cdot\cos(nx)\,dx -\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\cos(nx)\,dx \Biggr].
As integrais dão
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(nx)\,dx =\frac{2\sin\bigl(n\frac{\pi}{2}\bigr)}{n}, \quad \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\cos(nx)\,dx =\frac{\sin\bigl(\tfrac{3n\pi}{2}\bigr)-\sin\bigl(n\tfrac{\pi}{2}\bigr)}{n}.
Logo
a_n =\frac{1}{n\pi}\Bigl[2\sin\bigl(n\tfrac{\pi}{2}\bigr) -\bigl(\sin\bigl(\tfrac{3n\pi}{2}\bigr)-\sin\bigl(n\tfrac{\pi}{2}\bigr)\bigr)\Bigr] =\frac{3\sin(n\frac{\pi}{2})-\sin(\frac{3n\pi}{2})}{n\pi}.
Usando \sin(\tfrac{3n\pi}{2})=(-1)^n\sin(n\tfrac{\pi}{2}), para n ímpar (-1)^n=-1 e obtemos
a_n=\frac{4\sin\bigl(n\tfrac{\pi}{2}\bigr)}{n\pi},
enquanto para n par fica a_n=0.
  1. Cálculo de b_n:
b_n =\frac{1}{\pi}\Bigl[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1\cdot\sin(nx)\,dx -\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\sin(nx)\,dx \Bigr].
Cada integral anula-se (ou por simetria, ou por \sin ter médias iguais), resultando em b_n=0 para todo n.

Passo 5

Como a_0=0 e b_n=0, a série de Fourier de f é
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx) =\sum_{n\text{ ímpar}}\frac{4\sin\bigl(n\frac{\pi}{2}\bigr)}{n\pi}\,\cos(nx).í
Para n=2m+1, \sin\bigl((2m+1)\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(-1)^m. Logo
f(x) =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{4(-1)^m}{(2m+1)\pi}\,\cos\bigl((2m+1)x\bigr).

Resposta

\boxed{ \begin{aligned} &\lim_{x\to0^\pm}f(x)=1,\quad \lim_{x\to(\pm\pi)^\pm}f(x)=-1,\\\ &\text{Série de Fourier: } f(x) =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{4(-1)^m}{(2m+1)\pi}\,\cos\bigl((2m+1)x\bigr). \end{aligned} }é

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