Para cada função
dada abaixo, determine sua inversa
. Além disso, verifique:
i. O domínio e a imagem de
e
.
ii. Se
também é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de
e
.
Sendo:
i. O domínio e a imagem de
ii. Se
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de
Passo 1
O enunciado dá a função
O que é pedido:
- Determinar
, a inversa de . - Verificar i) o domínio e a imagem de
e de ; - Verificar ii) se
também é uma função de primeiro grau; - Verificar iii) o ponto de interseção entre os gráficos de
e .
Informações relevantes dadas:
- A função é uma reta afim com coeficiente angular
e coeficiente linear . - Não há restrição explícita de domínio no enunciado.
Passo 2
O que é a função inversa e método para obtê‑la (explicação didática).
- Definição:
é a função tal que, para todo do domínio de , vale . Geometricamente, o gráfico de é a reflexão do gráfico de em relação à reta . - Método prático para encontrar
: escrevemos , trocamos e e resolvemos para . Esse resolvido é .
Vamos aplicar.
Começamos com
Trocando
e
obtemos
Agora isolamos
:
Portanto obtivemos a fórmula da inversa:
Passo 3
Explicação passo a passo das operações algébricas usadas:
- Ao trocar
e estamos perguntando: para um valor de saída , qual era a entrada que gerou esse pela função original? Por isso resolvemos para . - Subtraímos
dos dois lados: . - Dividimos por
: . - Como a divisão por
é válida (coeficiente angular diferente de zero), a inversa existe e é a função dada acima.
Passo 4
Domínio e imagem de
e de
(com explicação).
- Domínio de
: a expressão está definida para todo número real, logo
- Imagem de
: como é uma reta de coeficiente angular , ao variar a expressão assume todos os valores reais. Formalmente, dado qualquer , escolhe‑se (esse é real) e . Logo
- Domínio de
: por definição o domínio de é a imagem de . Como , tem‑se
- Imagem de
: é o domínio de , então
Resumo: tanto
quanto
têm domínio e imagem iguais a
.
Passo 5
Verificar se
é também função de primeiro grau (explicação didática).
- Uma função afim (ou de primeiro grau) tem a forma
com . - Escrevendo a inversa:
aqui
e
. Portanto
é também uma função de primeiro grau.
Passo 6
Ponto de interseção entre os gráficos de
e
(razão e cálculo).
- Observação geral (intuição geométrica e razão): o gráfico de
é a reflexão do gráfico de pela reta . Um ponto que esteja nos dois gráficos ao mesmo tempo, digamos , também gerará no gráfico de (porque pontos se trocam entre função e sua inversa); como uma função não pode atribuir duas imagens diferentes a uma mesma entrada, para que seja simultaneamente ponto de e de devemos ter . Ou seja, os pontos de interseção estão sobre a reta e são exatamente os pontos fixos que satisfazem . - Então resolvemos
Isolando
:
Como nos pontos de interseção
, o ponto é
(Verificação alternativa: igualando
também leva à mesma equação e ao mesmo resultado.)
Passo 7
Resumo final dos resultados essenciais (pronto para consulta rápida).
- Inversa encontrada:
. - Domínio e imagem:
. -
é função de primeiro grau (coeficiente angular ). - Ponto de interseção dos gráficos:
.
Resposta
Sim,
Ponto de interseção: