Para cada função f(x) dada abaixo, determine sua inversa f^{-1}(x). Além disso, verifique:
i. O domínio e a imagem de f(x) e f^{-1}(x).
ii. Se f^{-1}(x) também é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de f(x) e f^{-1}(x).
Sendo:
f(x)=3 x+5

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3x+5.
O que é pedido:
  • Determinar f^{-1}(x), a inversa de f.
  • Verificar i) o domínio e a imagem de f(x) e de f^{-1}(x);
  • Verificar ii) se f^{-1}(x) também é uma função de primeiro grau;
  • Verificar iii) o ponto de interseção entre os gráficos de f(x) e f^{-1}(x).
Informações relevantes dadas:
  • A função é uma reta afim com coeficiente angular 3 e coeficiente linear 5.
  • Não há restrição explícita de domínio no enunciado.

Passo 2

O que é a função inversa e método para obtê‑la (explicação didática).
  • Definição: f^{-1} é a função tal que, para todo x do domínio de f^{-1}, vale f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x. Geometricamente, o gráfico de f^{-1} é a reflexão do gráfico de f em relação à reta y=x.
  • Método prático para encontrar f^{-1}: escrevemos y=f(x), trocamos x e y e resolvemos para y. Esse y resolvido é f^{-1}(x).
    Vamos aplicar.
Começamos com
y=3x+5.
Trocando x e y obtemos
x=3y+5.
Agora isolamos y:
3y = x-5, \qquad y=\frac{x-5}{3}.
Portanto obtivemos a fórmula da inversa:
f^{-1}(x)=\frac{x-5}{3}.

Passo 3

Explicação passo a passo das operações algébricas usadas:
  • Ao trocar x e y estamos perguntando: para um valor de saída x, qual era a entrada y que gerou esse x pela função original? Por isso resolvemos x=3y+5 para y.
  • Subtraímos 5 dos dois lados: x-5=3y.
  • Dividimos por 3: y=(x-5)/3.
  • Como a divisão por 3 é válida (coeficiente angular diferente de zero), a inversa existe e é a função dada acima.

Passo 4

Domínio e imagem de f e de f^{-1} (com explicação).
  • Domínio de f: a expressão 3x+5 está definida para todo número real, logo
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • Imagem de f: como f é uma reta de coeficiente angular 3\neq 0, ao variar x\in\mathbb{R} a expressão 3x+5 assume todos os valores reais. Formalmente, dado qualquer y\in\mathbb{R}, escolhe‑se x=(y-5)/3 (esse x é real) e f(x)=y. Logo
\text{Im}(f)=\mathbb{R}.
  • Domínio de f^{-1}: por definição o domínio de f^{-1} é a imagem de f. Como \text{Im}(f)=\mathbb{R}, tem‑se
\text{Dom}\bigl(f^{-1}\bigr)=\mathbb{R}.
  • Imagem de f^{-1}: é o domínio de f, então
\text{Im}\bigl(f^{-1}\bigr)=\mathbb{R}.
Resumo: tanto f quanto f^{-1} têm domínio e imagem iguais a \mathbb{R}.

Passo 5

Verificar se f^{-1}(x) é também função de primeiro grau (explicação didática).
  • Uma função afim (ou de primeiro grau) tem a forma ax+b com a\neq 0.
  • Escrevendo a inversa:
f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3},
aqui a=\dfrac{1}{3}\neq 0 e b=-\dfrac{5}{3}. Portanto f^{-1} é também uma função de primeiro grau.

Passo 6

Ponto de interseção entre os gráficos de f e f^{-1} (razão e cálculo).
  • Observação geral (intuição geométrica e razão): o gráfico de f^{-1} é a reflexão do gráfico de f pela reta y=x. Um ponto que esteja nos dois gráficos ao mesmo tempo, digamos (a,b), também gerará (b,a) no gráfico de f (porque pontos se trocam entre função e sua inversa); como uma função não pode atribuir duas imagens diferentes a uma mesma entrada, para que (a,b) seja simultaneamente ponto de f e de f^{-1} devemos ter a=b. Ou seja, os pontos de interseção estão sobre a reta y=x e são exatamente os pontos fixos que satisfazem f(x)=x.
  • Então resolvemos
3x+5 = x.
Isolando x:
3x+5=x \quad\Rightarrow\quad 2x=-5 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{5}{2}.
Como nos pontos de interseção y=x, o ponto é
\left(-\frac{5}{2},-\frac{5}{2}\right).
(Verificação alternativa: igualando f(x)=f^{-1}(x) também leva à mesma equação e ao mesmo resultado.)

Passo 7

Resumo final dos resultados essenciais (pronto para consulta rápida).
  • Inversa encontrada: f^{-1}(x)=\dfrac{x-5}{3}.
  • Domínio e imagem: \text{Dom}(f)=\text{Im}(f)=\text{Dom}\bigl(f^{-1}\bigr)=\text{Im}\bigl(f^{-1}\bigr)=\mathbb{R}.
  • f^{-1} é função de primeiro grau (coeficiente angular \dfrac{1}{3}\neq 0).
  • Ponto de interseção dos gráficos: \left(-\dfrac{5}{2},-\dfrac{5}{2}\right).

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{x-5}{3}
\text{Dom}(f)=\text{Im}(f)=\text{Dom}\bigl(f^{-1}\bigr)=\text{Im}\bigl(f^{-1}\bigr)=\mathbb{R}
Sim, f^{-1}(x)=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{5}{3} é função de primeiro grau.
Ponto de interseção: \left(-\dfrac{5}{2},-\dfrac{5}{2}\right)

Exercícios relacionados