Para cada função f(x), determine as derivadas de primeira ordem:
f(x)=x^{\frac{5}{4}}(2 x+2) x^{4}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem da função dada. As informações do enunciado são:
f(x)=x^{\frac{5}{4}}(2 x+2) x^{4}
A tarefa é calcular f'(x).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão combinando as potências de x. Temos dois fatores em potência: x^{\frac{5}{4}} e x^{4}. Somamos os expoentes:
\frac{5}{4}+4=\frac{5}{4}+\frac{16}{4}=\frac{21}{4}.
Portanto a função fica
f(x)=(2x+2)\,x^{\frac{21}{4}}.

Passo 3

Vou relembrar duas regras que usaremos (com explicação simples):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, a derivada de u(x)v(x) é
\big(u v\big)'=u'v+uv'.
Isto significa: derive um fator e multiplique pelo outro, e depois some com o produto do primeiro fator pelo derivado do segundo.
  • Regra da potência (power rule): para x^{n} com constante n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aqui n é qualquer número real; por exemplo, \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.

Passo 4

Aplique a regra do produto à função simplificada. Tome
u(x)=2x+2\qquad\text{e}\qquad v(x)=x^{\frac{21}{4}}.
Calculamos os derivados de cada um:
u'(x)=2,
pois a derivada de 2x+2 é 2;
v'(x)=\frac{21}{4}x^{\frac{21}{4}-1}=\frac{21}{4}x^{\frac{17}{4}},
usando a regra da potência.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo:
f'(x)=2\cdot x^{\frac{21}{4}}+(2x+2)\cdot\frac{21}{4}x^{\frac{17}{4}}.

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão fatorando x^{\frac{17}{4}}, que é o menor expoente presente:
2x^{\frac{21}{4}}=2x^{\frac{17}{4}}x^{\frac{4}{4}}=2x^{\frac{17}{4}}x.
Assim
f'(x)=x^{\frac{17}{4}}\big(2x+\frac{21}{4}(2x+2)\big).
Simplificamos o parêntese:
\frac{21}{4}(2x+2)=\frac{42}{4}(x+1)=\frac{21}{2}(x+1).
Portanto
2x+\frac{21}{2}(x+1)=2x+\frac{21}{2}x+\frac{21}{2}=\frac{25}{2}x+\frac{21}{2}=\frac{1}{2}(25x+21).
Logo
f'(x)=x^{\frac{17}{4}}\cdot\frac{1}{2}(25x+21).

Passo 7

Podemos escrever a resposta final de forma compacta:
f'(x)=\frac{1}{2}(25x+21)\,x^{\frac{17}{4}}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{2}(25x+21)\,x^{\frac{17}{4}}

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