Para cada função
, determine as derivadas de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas de primeira ordem (ou seja,
) da função
Informações dadas e observações do enunciado:
- A função é
. - Note que o termo
envolve raiz quártica e, para a definição usual em números reais, exige . Portanto a função está definida em (a parte permitiria negativo, mas o termo com expoente impõe ). - O que se pede é a derivada primeira
(e, implicitamente, onde ela existe).
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática): a regra da potência.
- Se temos uma função básica
, com um número racional ou real, a derivada é dada por
- O que isso significa: para derivar, você “desce” o expoente multiplicando a função por ele e depois diminui o expoente em 1 (ou seja, subtrai
do expoente). - Para uma função com constante multiplicativa
, a constante permanece multiplicando: . - Atenção à existência: quando o novo expoente
for negativo, a expressão da derivada terá potências negativas (ou seja, termos do tipo ), que ficam indefinidos em . Isso indica que a derivada pode não existir em .
Passo 3
Aplicando a regra da potência ao primeiro termo
:
- A constante
permanece multiplicando. - O expoente é
. Usando a regra,
- Calcule o coeficiente:
. - Calcule o novo expoente:
. - Logo
- Podemos reescrever
como quando .
Passo 4
Aplicando a regra da potência ao segundo termo
:
- A constante
permanece multiplicando. - O expoente é
. Usando a regra,
- Calcule o coeficiente:
. - Calcule o novo expoente:
. - Logo
- Podemos reescrever
como quando .
Passo 5
Juntando os dois resultados (a derivada é a soma das derivadas dos termos):
Observações finais sobre domínio e existência:
- A expressão acima está corretamente definida para
. - Em
ambos os termos têm potências negativas (divergem), portanto não existe. - Resumindo: a derivada existe para
e não existe em .
Resposta
Não existe