Para cada função f(x), determine as derivadas de primeira ordem:
f(x)=3 x^{3 / 4}-2 x^{1 / 3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas de primeira ordem (ou seja, f'(x)) da função
f(x)=3 x^{3/4}-2 x^{1/3}.
Informações dadas e observações do enunciado:
  • A função é f(x)=3 x^{3/4}-2 x^{1/3}.
  • Note que o termo x^{3/4} envolve raiz quártica e, para a definição usual em números reais, exige x\ge 0. Portanto a função está definida em x\ge 0 (a parte x^{1/3} permitiria x negativo, mas o termo com expoente 3/4 impõe x\ge0).
  • O que se pede é a derivada primeira f'(x) (e, implicitamente, onde ela existe).

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática): a regra da potência.
  • Se temos uma função básica x^n, com n um número racional ou real, a derivada é dada por
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
  • O que isso significa: para derivar, você “desce” o expoente multiplicando a função por ele e depois diminui o expoente em 1 (ou seja, subtrai 1 do expoente).
  • Para uma função com constante multiplicativa k, a constante permanece multiplicando: \frac{d}{dx}\big(k\,x^{n}\big)=k\cdot n\,x^{n-1}.
  • Atenção à existência: quando o novo expoente n-1 for negativo, a expressão da derivada terá potências negativas (ou seja, termos do tipo x^{\text{negativo}}), que ficam indefinidos em x=0. Isso indica que a derivada pode não existir em x=0.

Passo 3

Aplicando a regra da potência ao primeiro termo 3 x^{3/4}:
  • A constante 3 permanece multiplicando.
  • O expoente é n=\tfrac{3}{4}. Usando a regra,
\frac{d}{dx}\big(3 x^{3/4}\big)=3\cdot\frac{3}{4}\,x^{\tfrac{3}{4}-1}.
  • Calcule o coeficiente: 3\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{4}.
  • Calcule o novo expoente: \tfrac{3}{4}-1=\tfrac{3}{4}-\tfrac{4}{4}=-\tfrac{1}{4}.
  • Logo
\frac{d}{dx}\big(3 x^{3/4}\big)=\frac{9}{4}\,x^{-1/4}.
  • Podemos reescrever x^{-1/4} como \dfrac{1}{x^{1/4}}=\dfrac{1}{\sqrt[4]{x}} quando x>0.

Passo 4

Aplicando a regra da potência ao segundo termo -2 x^{1/3}:
  • A constante -2 permanece multiplicando.
  • O expoente é n=\tfrac{1}{3}. Usando a regra,
\frac{d}{dx}\big(-2 x^{1/3}\big)=-2\cdot\frac{1}{3}\,x^{\tfrac{1}{3}-1}.
  • Calcule o coeficiente: -2\cdot\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}.
  • Calcule o novo expoente: \tfrac{1}{3}-1=\tfrac{1}{3}-\tfrac{3}{3}=-\tfrac{2}{3}.
  • Logo
\frac{d}{dx}\big(-2 x^{1/3}\big)=-\frac{2}{3}\,x^{-2/3}.
  • Podemos reescrever x^{-2/3} como \dfrac{1}{x^{2/3}}=\dfrac{1}{\big(\sqrt[3]{x}\big)^{2}} quando x>0.

Passo 5

Juntando os dois resultados (a derivada é a soma das derivadas dos termos):
f'(x)=\frac{9}{4}\,x^{-1/4}-\frac{2}{3}\,x^{-2/3}.
Observações finais sobre domínio e existência:
  • A expressão acima está corretamente definida para x>0.
  • Em x=0 ambos os termos têm potências negativas (divergem), portanto f'(0) não existe.
  • Resumindo: a derivada existe para x>0 e não existe em x=0.

Resposta

f'(x)=\dfrac{9}{4}\,x^{-1/4}-\dfrac{2}{3}\,x^{-2/3},\quad x>0
Não existe f'(0).

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